Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Maticový polynom

Úloha číslo: 1415

Je dán polynom \(p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 13\) a matice \(A,B\) nad \(\mathbb{R}\). \[ A = \left( \begin{array}{rr} 3&1\\-2&2 \end{array}\right),\qquad B = \left( \begin{array}{rr} 2&3\\-1&5 \end{array}\right). \] Je některá z matic \(A,B\) kořenem polynomu \(p\)?
  • Co je maticový polynom?

    Uvažujme klasický polynom \(p\) v proměnné \(\lambda\) \(k\)-tého stupně \[ p(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \ \ldots\ + a_1 \lambda + a_0\lambda^0, \qquad a_k\neq 0. \]

    Co kdybychom chtěli do polynomu namísto čísel \(\lambda\) dosazovat matice? Aby bylo možné matice mocnit, budou muset být čtvercové.

    Dosazením matice \(A\in T^{n\times n}\)do polynomu \(p\in T\left[\lambda\right]\) tedy získáme výraz

    \[ p(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \ \ldots\ + a_1 A + a_0E, \] kterému budeme říkat maticový polynom.
    (i) Matice jako kořen, anulující polynom

    Nechť \(A\) je čtvercová matice a \(p\) maticový polynom.

    Jestliže \(p(A) = O\), říkáme, že matice \(A\) je kořenem polynomu \(p\) a polynom \(p\) zveme anulujícím polynomem matice \(A\).

  • Nápověda

    Aby byla matice kořenem polynomu (polynom byl jejím anulujícím polynomem), musíme získat po jejím dosazení nulovou matici.

    Dosaďte matice \(A,B\) do polynomu a zjistěte, zda-li jsou jeho kořenem.

  • Odpověď

    Matice \(A\) není kořenem polynomu \(p\), matice \(B\) ano.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze