Sbírka řešených úloh

Maticový polynom

Úloha číslo: 1415

• Co je maticový polynom?

  Uvažujme klasický polynom \(p\) v proměnné \(\lambda\) \(k\)-tého stupně \[ p(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \ \ldots\ + a_1 \lambda + a_0\lambda^0, \qquad a_k\neq 0. \]

  Co kdybychom chtěli do polynomu namísto čísel \(\lambda\) dosazovat matice? Aby bylo možné matice mocnit, budou muset být čtvercové.

  Dosazením matice \(A\in T^{n\times n}\)do polynomu \(p\in T\left[\lambda\right]\) tedy získáme výraz

  \[ p(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \ \ldots\ + a_1 A + a_0E, \] kterému budeme říkat maticový polynom.

  (i) Matice jako kořen, anulující polynom

  Nechť \(A\) je čtvercová matice a \(p\) maticový polynom.

  Jestliže \(p(A) = O\), říkáme, že matice \(A\) je kořenem polynomu \(p\) a polynom \(p\) zveme anulujícím polynomem matice \(A\).

• Nápověda

  Aby byla matice kořenem polynomu (polynom byl jejím anulujícím polynomem), musíme získat po jejím dosazení nulovou matici.

  Dosaďte matice \(A,B\) do polynomu a zjistěte, zda-li jsou jeho kořenem.

• Řešení nápovědy

  Do polynomu dosadíme matici \(A\) \[\color{grey}{p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 13\lambda^0}\] \[ p(A) = \left(\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right)^2 - 7 \left(\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right) + 13 \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = \] \[ = \left(\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} -21 & -7 \\ 14 & -14 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{array}\right) = \] \[ = \left(\begin{array}{rr} 7 & 5 \\ -10 & 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} -21 & -7 \\ 14 & -14 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{array}\right) \neq O. \] Dosazením matice \(A\) do polynomu \(p\) jsme nezískali nulovou matici. Matice tedy není jeho kořenem, polynom není pro matici anulujícím.

  ---

  Do polynomu dosadíme matici \(B\) \[\color{grey}{p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 13\lambda^0}\] \[ p(B) = \left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{array}\right)^2 - 7 \left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{array}\right) + 13 \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = \] \[ = \left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} -14 & -21 \\ 7 & -35 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{array}\right) = \] \[ = \left(\begin{array}{rr} 1 & 21 \\ -7 & 22 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} -14 & -21 \\ 7 & -35 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) = O. \] Dosazením matice \(B\) do polynomu \(p\) jsme získali nulovou matici. Matice je tedy jeho kořenem. Polynom je pro matici anulujícím.

• Odpověď

  Matice \(A\) není kořenem polynomu \(p\), matice \(B\) ano.