Algebraická struktura II.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Algebraická struktura II.

Úloha číslo: 1314

Vyšetřete, jakou algebraickou strukturu tvoří struktura \((\mathbb{R};\oplus,\odot)\).
Binární operace \(\oplus\) a \(\odot\) jsou dány předpisy \[ \begin{eqnarray} a\oplus b &=& a+b-\sqrt{2}, \\ a \odot b &=& a + b -\frac{ab\sqrt{2}}{2}. \\ \end{eqnarray} \]

Rozbor
Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.

Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.

Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.
\[ \begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]
Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.
Nápověda 1 – asociativita sčítání
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 1 – asociativita sčítání
Víme, že asociativní zákon pro binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad (a+ b) + c =a+ (b +c). \]
Po dosazení naší konkrétní binární operace \(\oplus\) získáváme na levé straně rovnosti
\[(a\oplus b)\oplus c = (a+b-\sqrt{2})\oplus c = a+b+c-2\sqrt{2},\]
a na straně pravé pak
\[a\oplus(b\oplus c) = a \oplus (b+ c-\sqrt{2}) = a+b+c-2\sqrt{2}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+b+c -2\sqrt{2}= a+b+c -2\sqrt{2},\]
z čehož plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) vlastnost (i) platí.
Nápověda 2 – komutativita sčítání
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 2 – komutativita sčítání
Víme, že komutativní zákon pro binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b \in M:\qquad a + b =b + a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\oplus\) na množině \(\mathbb{R}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\oplus b = a+b-\sqrt{2},\]
a na straně pravé pak
\[b\oplus a = b+a-\sqrt{2}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+b-\sqrt{2} = b+a-\sqrt{2},\]
z čehož plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) vlastnost (ii) platí.
Nápověda 3 – existence nulového prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel \(\mathbb{R}\).
Řešení nápovědy 3 – existence nulového prvku
Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\exists n_0 \in M: \forall a \in M:\qquad a + n_0 = a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\oplus\) na množině \(\mathbb{R}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\oplus n_0 = a+n_0-\sqrt{2},\]
a na straně pravé pak
\[a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+n_0-\sqrt{2} = a \qquad \Rightarrow \qquad n_0=\sqrt{2},\] \[\sqrt{2} \in \mathbb{R}.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) je neutrální prvek jednoznačně určen, je to prvek \(\sqrt{2}\), a tedy vlastnost (iii) pro operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) platí.
Nápověda 4 – existence opačných prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte vlastností reálných čísel \(\mathbb{R}\).
Řešení nápovědy 4 – existence opačných prvků
Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a \in M~~\exists a^{-1}:\qquad a+ a^{-1}=n_0.\]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\oplus\) na množině \(\mathbb{R}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\oplus a^{-1} = a+a^{-1},\]
a na straně pravé pak
\[n_0=\sqrt{2}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+a^{-1}-\sqrt{2} = \sqrt{2}\] \[-a+2\sqrt{2}=a^{-1}.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) existuje vždy k danému prvku \(a\) prvek \(a^{-1}\) a je jednoznačně určen jako \(a^{-1}=-a+2\sqrt{2}\) a tedy vlastnost (iv) pro operaci \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) platí.
Nápověda 5 – asociativita násobení
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 5 – asociativita násobení
Víme, že asociativní zákon pro binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M: \qquad (a \cdot b) \cdot c =a \cdot (b \cdot c). \]
Po dosazení naší konkrétní binární operace \(\odot\) získáváme na levé straně rovnosti
\[(a\odot b)\odot c = \left(a + b -\frac{ab\sqrt{2}}{2}\right)\odot c =\] \[= a + b + c -\frac{ab\sqrt{2}}{2} -c\sqrt{2}\frac{a+b-\frac{ab}{2}\sqrt{2}}{2}=\] \[=a+b+c-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(ab+ca+cb-\frac{abc\sqrt{2}}{2}\right),\]
a na straně pravé pak
\[a\odot (b\odot c) = a \odot \left(b + c -\frac{bc\sqrt{2}}{2}\right) =\] \[= a + b + c -\frac{bc\sqrt{2}}{2} -a\sqrt{2}\frac{b+c-\frac{bc}{2}\sqrt{2}}{2}=\] \[=a+b+c-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(bc+ab+ac-\frac{abc\sqrt{2}}{2}\right).\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+b+c-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(ab+ca+cb-\frac{abc\sqrt{2}}{2}\right) =\] \[= a+b+c-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(bc+ab+ac-\frac{abc\sqrt{2}}{2}\right).\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) vlasnost (v) platí.
Nápověda 6 – komutativita násobení
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 6 – komutativita násobení
Víme, že komutativní zákon pro binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b \in M:\qquad a \cdot b =b \cdot a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\odot\) na množině \(\mathbb{R}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\odot b = a + b -\frac{ab\sqrt{2}}{2},\]
a na straně pravé pak
\[b\odot a = b + a -\frac{ba\sqrt{2}}{2}.\]
prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a + b -\frac{ab\sqrt{2}}{2}a = b + a -\frac{ba\sqrt{2}}{2}.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) vlastnost (vi) platí.
Nápověda 7 – existence jednotkové prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel \(\mathbb{R}\).
Řešení nápovědy 7 – existence jednotkové prvku
Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\exists n_0 \in M~~\forall a \in M:\qquad a \cdot n_1 = a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\odot\) na množině \(\mathbb{R}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a \odot n_1 = a + n_1-\frac{an_1\sqrt{2}}{2},\]
a na straně pravé pak
\[a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a + n_1-\frac{an_1\sqrt{2}}{2} = a\] \[n_1=0\cdot\left( 1-\frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{-1}\] \[n_1=0.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) existuje jednoznačně určený neutrální prvek. Tedy vlastnost (vii) pro operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) platí.
Nápověda 8 – existence inverzních prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte vlastnosti reálných čísel.
Řešení nápovědy 8 – existence inverzních prvků
Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a \in M~~ \exists a^{-1}:\qquad a \cdot a^{-1}=n_1.\]
Po dosazení naší operace \(\odot\) a neutrálního prvku \(n_1=0\) získáváme
\[a\odot a^{-1}=n_1\] \[a+a^{-1}-\frac{\sqrt{2}aa^{-1}}{2}=0\] \[a^{-1}=\frac{a}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}a}.\]
Pro prvek \(a = \frac{2}{\sqrt 2}\) předpis nedává inverzní prvek. Ten lze ale najít dosazením za \(a\) přímo do neupraveného vztahu.

Pro operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) existují ke každému prvku, vyjma neutrálního, jednoznačně určené inverzní prvky. Vlastnost (viii) pro operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) platí.
Nápověda 9 – distributivní zákon
Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace \(\odot\) a \(\oplus\) na \(\mathbb{R}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 9 – distributivní zákon
Víme, že distributivní zákon pro binární operace \(+\) a \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right) + \left(a\cdot c\right),\]
a
\[\forall a,b,c \in M:\qquad \left(a+b\right)\cdot c=\left(a\cdot c\right) + \left(b\cdot c\right).\]
Po dosazení našich konkrétních binárních operací \(\oplus\) a \(\odot\) získáváme na levé straně rovnosti
\[\left(a\oplus b\right)\odot c = \left(a+b-\sqrt{2}\right)\odot c = a+b-\sqrt{2}+c-\frac{\left(a+b-\sqrt{2}\right)c\sqrt{2}}{2},\]
a na straně pravé pak
\[\left(a\odot c\right) \oplus \left(b \odot c\right) = \left(a+c-\frac{ac\sqrt{2}}{2}\right)\oplus \left(b+c-\frac{bc\sqrt{2}}{2}\right) = \] \[=a+b+2c-\frac{\sqrt{2}c\left(a+b\right)}{2}-\sqrt{2}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+b-\sqrt{2}+c-\frac{\left(a+b-\sqrt{2}\right)c\sqrt{2}}{2} = a+b+2c-\frac{\sqrt{2}c\left(a+b\right)}{2}-\sqrt{2}\] \[2c+a+b-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}ca}{2}-\frac{\sqrt{2}cb}{2}=2c+a+b-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}ca}{2}-\frac{\sqrt{2}cb}{2}.\]

Zbývá ověřit druhou část distributivního zákonu.

Po dosazení našich konkrétních binárních operací \(\oplus\) a \(\odot\) získáváme na levé straně rovnosti
\[c\odot\left(a\oplus b\right) = c \odot \left(a+b-\sqrt{2}\right) = c+a+b-\sqrt{2}-\frac{\left(a+b-\sqrt{2}\right)c\sqrt{2}}{2},\]
a na straně pravé pak
\[\left(c\odot a\right) \oplus \left(c \odot b\right) = \left(c+a-\frac{ca\sqrt{2}}{2}\right)\oplus \left(c+b-\frac{cb\sqrt{2}}{2}\right) = \] \[=2c+a+b-\frac{\sqrt{2}c\left(a+b\right)}{2}-\sqrt{2}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[c+a+b-\sqrt{2}-\frac{\left(a+b-\sqrt{2}\right)c\sqrt{2}}{2} = 2c+a+b-\frac{\sqrt{2}c\left(a+b\right)}{2}-\sqrt{2}\] \[2c+a+b-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}ca}{2}-\frac{\sqrt{2}cb}{2}=2c+a+b-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}ca}{2}-\frac{\sqrt{2}cb}{2}.\]

Z výše uvedeného plyne, že pro binární operace \(\oplus\) a \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) vlasnost (ix) platí.

Po úpravách se strany vzájemně vynulují.
Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly
Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci \(\odot\) na \(\mathbb{R}\) ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností celých čísel.
Řešení nápovědy 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly
Víme, že neexistence netriviálních dělitelů pro binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) říká
\[\forall a,b \in M:~~ a,b \ne 0 \qquad a\cdot b \ne 0. \]
Nulovým prvkem je v našem případě \(n_0 =\sqrt 2\). Po dosazení našich údajů máme
\[a\odot b \ne n_0,\] \[a+b-\frac{ab\sqrt{2}}{2}\ne\sqrt{2}.\]
Na první pohled je patrné, že tato nerovnost neplatí pouze pro \(a = \sqrt{2} \cup b = \sqrt{2}\), tyto případy jsou však vyloučeny v předpokladu formulky.Vlastnost (x) pro danou operaci na \(\mathbb{R}\) platí.

Ukázkový dopočet ověření výše uvedených závěrů
\[a = n_0 = \sqrt 2,\quad b\in\mathbb{R}: \qquad b+\sqrt{2}-\frac{b\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=b-b+\sqrt{2}=\sqrt{2},\] \[b = n_0 = \sqrt 2,\quad a\in\mathbb{R}: \qquad \sqrt{2}+ a -\frac{a\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=a-a+\sqrt{2}=\sqrt{2}.\]
Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury
Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.
Řešení nápovědy 11 – pojmenování algebraické struktury
Vyšetřování ukázalo, že platí všechny charakteristické vlastnosti (i) až (x). Z toho pro algebraickou strukturu \((\mathbb{R}; \oplus,\odot)\) plyne následující.

Struktura \((\mathbb{R};\oplus,\odot)\) je komutativním tělesem (polem).

Splňuje také vlastnosti okruhu, komutativního okruhu, komutativního okruhu s jednotkovým prvkem a oboru integrity.
Odpověď
Struktura \((\mathbb{R};\oplus,\odot)\) je komutativním tělesem (polem).

Algebraická struktura II.

Úloha číslo: 1314

Rozbor

Nápověda 1 – asociativita sčítání

Řešení nápovědy 1 – asociativita sčítání

Nápověda 2 – komutativita sčítání

Řešení nápovědy 2 – komutativita sčítání

Nápověda 3 – existence nulového prvku

Řešení nápovědy 3 – existence nulového prvku

Nápověda 4 – existence opačných prvků

Řešení nápovědy 4 – existence opačných prvků

Nápověda 5 – asociativita násobení

Řešení nápovědy 5 – asociativita násobení

Nápověda 6 – komutativita násobení

Řešení nápovědy 6 – komutativita násobení

Nápověda 7 – existence jednotkové prvku

Řešení nápovědy 7 – existence jednotkové prvku

Nápověda 8 – existence inverzních prvků

Řešení nápovědy 8 – existence inverzních prvků

Nápověda 9 – distributivní zákon

Řešení nápovědy 9 – distributivní zákon

Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

Řešení nápovědy 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury

Řešení nápovědy 11 – pojmenování algebraické struktury

Odpověď