Sbírka řešených úloh

Binární operace II.

Úloha číslo: 1317

• Rozbor

  Máme-li učit, zda-li se jedná o binární operaci, pak vycházíme přímo z její definice vyložené v úloze Algebraické struktury a binární operace.

  Dle definice je nutné ověřit, zda-li operace každým dvěma prvkům množiny \(M\), na níž je definována, přiřazuje opět prvek této množiny.

  Pro zjištění vlastností udané operace bude třeba ověřit, zda jsou splněny jejich podmínky. V případě zkoumání jedné operace to znamená konkrétně

  \[ \begin{array}{llrcl} \mathrm{1.} & \mathrm{Asociativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: & (a\,\Box\, b) \,\Box\, c &=&a\,\Box\, (b \,\Box\, c)\\ \mathrm{2.} & \mathrm{Komutativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b \in M: & a\,\Box\, b &=& b\,\Box\, a \\ \mathrm{3.} & \mathrm{Existenci\ neutrálního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \exists n_0 \in M~~\forall a \in M:& a \,\Box\, n_0 &=& a\\ \mathrm{4.} & \mathrm{Existenci\ inverzního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a \in M\setminus \left\{ n_0\right\}~~ \exists a^{-1}: & a\,\Box\, a^{-1}&=&n_0\\ \mathrm{5.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zleva:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = a \,\Box\, c ~~\Rightarrow~~ b&=&c\\ \mathrm{6.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zprava:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = c \,\Box\, b ~~\Rightarrow~~ a&=&c\\ \end{array} \]

  Je dobré uvedené vlastnosti vyšetřovat v pořadí, v jakém jsou zde uvedeny, neboť například, pokud neexistuje vzhledem ke zkoumané operaci neutrální prvek, nemá smysl vyšetřovat existenci neutrálních prvků. Dále například, pokud platí komutativní zákon a zákon krácení zprava, pak platí i zákon krácení zleva.

• Nápověda 1 – binární operace

  Přímo z definice ověřte, zda operace \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) splňuje vlastnosti binární operace.

• Řešení nápovědy 1 – binární operace

  Vyjdeme přímo z definice. Binární operací na množině \(\mathbb{Q}\) rozumíme zobrazení \[f:\ \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}.\]

  Stačí tedy ověřit, zda-li operace \(\circ\) každým dvěma prvkům množiny \(\mathbb{Q}\) přiřadí opět její prvek.

  Aby byla operace binární, muselo by pro libovolné \( a,b \in \mathbb{Q}\) platit

  \[\qquad a\circ b = \sqrt{a\cdot b} ~\overset{?}{\in}~ \mathbb{Q}.\]

  Z vlastnosti pole \(\mathbb{Q}\) víme, že součin dvou racionálních čísel je opět číslo racionální (uzavřenost pole vzhledem k násobení). Odmocnina z racionálního čísla však nutně nemusí být číslem racionálním. Například \(\sqrt{2}\notin Q\). Množina \(\mathbb{Q}\) tedy není na operaci \(\circ\) uzavřená.

  Operace \(\circ\) není na \(\mathbb{Q}\) binární operací.

• Odpověď

  Operace \(\circ\) není na množině racionálních čísel \(\mathbb{Q}\) binární operací.