Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Inverzní matice

Úloha číslo: 1419

Je dána matice

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{nad}\ \mathbb{Z}_7. \]

Nalezněte její minimální polynom \(m(\lambda)\) a vypočítejte inverzní matici \(A^{-1}\).

  • Nápověda 1 – minimální polynom

    Nalezněte minimální polynom \(m(\lambda)\) matice \(A\).

    Minimální polynom matice je její normovaný anulující polynom nejmenšího možného stupně. Nejprve je třeba určit charakteristický polynom a dále postupovat jako v úloze Minimální polynom.

  • Nápověda 2 – inverzní matice

    Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.

    Který z anulujících polynomů je k výpočtu vhodnější? Polynom \(p(\lambda)\) nebo \(m(\lambda)\)?

  • Odpověď

    Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_7\) jsme našli
    • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda + 3)^3\),
    • minimální polynom \(m(\lambda) =(\lambda + 3)^2\),
    • inverzní matici \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 5 & 3 & 5 \\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\)
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze