Sbírka řešených úloh

Inverzní matice

Úloha číslo: 1419

• Nápověda 1 – minimální polynom

  Nalezněte minimální polynom \(m(\lambda)\) matice \(A\).

  Minimální polynom matice je její normovaný anulující polynom nejmenšího možného stupně. Nejprve je třeba určit charakteristický polynom a dále postupovat jako v úloze Minimální polynom.

• Řešení nápovědy 1 – minimální polynom

  Určeme nejprve charakteristický polynom. Pozor, pracujeme nad \(\mathbb{Z}_7\)! \[ \det (\lambda E - A) = \begin{vmatrix} \lambda + 5 & 6 & 2 \\ 3 & \lambda + 5 & 3 \\ 3 & 2 & \lambda + 6 \end{vmatrix}= (\lambda + 5)^2 (\lambda + 6) + 5\lambda + 3= \] \[ = \lambda^3 + 2\lambda^2 + 6\lambda + 6. \]

  Polynom rozložíme v součin kořenových činitelů.

  Snadno ověříme, že čísla \(1,{}2,{}3\) nejsou jeho kořeny, zatímco číslo \(4\) ano. Vydělením polynomu činitelem odpovídajícím tomuto kořenu získáme polynom \[ (\lambda^3 + 2\lambda^2 + 6\lambda + 6):(\lambda + 3) = \lambda^2 + 6\lambda + 2. \] Tento kvadratický trojčlen má zřejmě dvojnásobný kořen \(4\), neboť právě \[(\lambda + 3)^2 = \lambda^2 + 6\lambda + 2.\] Charakteristický polynom má tedy rozklad \[p(\lambda) = (\lambda + 3)^3.\] Minimální polynom \(m(\lambda)\) tedy bude jeden z polynomů \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda + 3),\\ \mu_2(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2,\\ p(\lambda) = \mu_3(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3,\\ \end{eqnarray} \]

  který bude anulující a současně nejmenšího stupně.

  • Je polynom \(\mu_1\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ne, není, neboť \[ \mu_1(A) = (A + 3E) = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix} \neq O. \]
  • Je polynom \(\mu_2\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ano, je, neboť \[ \mu_2(A) = (A + 3E)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}^2= \] \[ =\begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix} =O. \]

  Polynom \(\mu_2\) je normovaný anulující polynom matice \(A\) nejmenšího stupně.

  Nalezli jsme tak minimální polynom matice \(A\)

  \[m(\lambda) = \mu_2(\lambda) = (\lambda + 3)^2.\]

• Nápověda 2 – inverzní matice

  Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.

  Který z anulujících polynomů je k výpočtu vhodnější? Polynom \(p(\lambda)\) nebo \(m(\lambda)\)?

• Řešení nápovědy 2 – inverzní matice

  Pro matici \(A\) jsme nalezli charakteristický a minimální polynom \[ p(\lambda) = (\lambda + 3)^3, \] \[ m(\lambda) = (\lambda + 3)^2. \] Oba polynomy jsou anulujícími polynomy matice \(A\), tedy \[ p(A) = (A + 3E)^3 = O, \] \[ m(A) = (A + 3E)^2 = O. \] Pro výpočet bude zřejmě snazší mocnit na druhou, vyberme si tedy polynom \(m\). \[(A + 3E)^2 = O\] Postupnou úpravou dostáváme \[ \begin{eqnarray} (A + 3E)^2 &=& O \\ A^2 + 6AE + 9E^2 &=& O \\ A^2 + 6A + 9E &=& O \quad | +5E\\ A^2 + 6A &=& 5E \quad | \cdot 3\\ 3A^2 + 4A &=& E \quad | \cdot A^{-1}\\ 3A + 4E &=& A^{-1}.\\ \end{eqnarray} \] Dosazením získáme hledanou inverzní matici \[ A^{-1}= 3A + 4E = 3\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 5 & 3 & 5 \\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

  ---

  Můžeme si ověřit správnost výpočtu. Ano, matice jsou skutečně inverzní, protože \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 5 & 3 & 5 \\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =E. \]

• Odpověď

  Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_7\) jsme našli

  • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda + 3)^3\),
  • minimální polynom \(m(\lambda) =(\lambda + 3)^2\),
  • inverzní matici \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 5 & 3 & 5 \\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\)