Sbírka řešených úloh

Inverzní matice I.

Úloha číslo: 1333

• Rozbor

  Máme-li určit inverzní matici k zadané čtvercové matici řádu \(n\) (inverzní matice určujeme pouze ke čtvercovým maticím), pak máme nalézt takovou matici \(A^{-1}\) řádu \(n\), která splňuje rovnost

  \[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A = E,\]

  kde \(E\) je jednotková matice řádu \(n\).

  Výše uvedená rovnost navíc zaznamenává i skutečnost, že inverzní matice k zadané matici je jednoznačně určená.

  Z teorie dále víme, že inverzní matici mají pouze matice invertibilní – regulární. Tedy takové matice, jejichž řádky/sloupce jsou lineárně nezávislé.

  O lineární závislosti pojednává úloha Lineární závislost.

  Jinými slovy, čtvercové matice jsou regulární, jestliže jejich hodnost odpovídá jejich řádu – což můžeme například ověřit po jejich uvedení do řádkově odstupňovaného tvaru.

  Úpravou na odstupňovaný tvar se zabývají úlohy Hodnost matice a Odstupňovaný tvar, Gaussova eliminace.

  Určit inverzní matici tedy spočívá v řešení maticové rovnosti \(A\cdot A^{-1} = E\) nebo \(A^{-1}\cdot A = E\).

  O maticové rovnosti pojednává úloha Maticová rovnost.

  Při výpočtu postupujeme následovně. Napravo matice \(A\) umístíme jednotkovou matici. Na obě matice současně provádíme řádkové úpravy tak, abychom na místo původní matice \(A\) získali matici jednotkovou. Jakmile se tak stane, elementární řádkové úpravy, představující průběžné násobení transformačními maticemi zleva, vytvořily na pravé straně z jednotkové matice matici inverzní \(A^{-1}\).

  Není nutné před samotným výpočtem ověřovat, zda se jedná o invertibilní matici. Tuto skutečnost můžeme zjistit až v průběhu výpočtu, protože v případě, že zadaná matice nemá diagonální tvar (jednotková matice je diagonální), pak není invertibilní – což během úprav uvidíme (jeden nebo více řádků se vynuluje – budou lineárně závislé).

• Nápověda – nalezení inverzní matice

  Na základě rozboru vyřešte maticovou rovnost \(A\cdot A^{-1} = E\). Vedle matice \(A\) umístěte jednotkovou matici. Na obě současně provádějte řádkové úpravy tak, aby matice \(A\) přešla v jednotkovou matici. Poté bude na straně pravé inverzní matice.

  Pozor, pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_7\)!

  Zda-li je matice invertibilní zjistíme během úpravy na jednotkovou matici.

• Řešení nápovědy – nalezení inverzní matice

  Hledáme řešení rovnosti

  \[A\cdot A^{-1} = E,\]

  jímž by měla být inverzní matice \(A^{-1}\) řádu \(3\) nad polem \(\mathbb{Z}_7.\)

  ---

  Vedle matice \(A\) umístíme jednotkovou matici. Na obě současně budeme provádět řádkové úpravy tak, aby matice \(A\) přešla v jednotkovou matici. Stane-li se tak, bude na straně pravé inverzní matice \(A^{-1}\).

  \[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 5 & 6 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 3I\\ III + 2I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 5 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \,&\, 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \,&\, 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 2II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 5 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \,&\, 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 2II\\ \end{array}} \]

  Jak vidíme, třetí řádek matice byl následkem provedených úprav vynulován, z čehož plyne, že vektory tvořící její řádky jsou lineárně závislené (třetí řádek je lineární kombinací prvních dvou) a zadaná matice tedy není invertibilní (regulární) a tedy k ní ani neexistuje inverzní matice.

• Odpověď

  Zadaná matice není invertibilní (regulární) a tudíž k ní neexistuje inverzní matice.

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.