Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vektorový prostor II.

Úloha číslo: 1356

Rozhodněte, zda je množina

\[V = \big\{ p(x);\, 8p(0) + 6p(1) = 0\big\}\]

vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).


Tj. množina je tvořena všemi polynomy, pro které je součet osminásobku hodnoty v nule a šestinásobku hodnoty v jedničce roven nule.
  • Nápověda 0 – „uzavřenost“ na operace

    Aby množina \(V\) byla vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), je třeba aby součet libovolných dvou vektorů dal opět vektor množiny \(V\), z množiny \(V\) musí být i výsledek násobení libovolného reálného čísla a libovolného vektoru množiny \(V\).

    Ověřte!

  • Nápověda 1 – asociativní zákon

    Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,p_{1{,}2,3}(x) \in V:~ \big[p_1(x)+p_2(x)\big]+p_3(x) = p_1(x) + \big[p_2(x)+p_3(x)\big].\]
  • Nápověda 2 – komutativní zákon

    Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,p_1(x), p_2(x) \in V:\quad p_1(x)+p_2(x) = p_2(x) + p_1(x).\]
  • Nápověda 3 – existence nulového polynomu

    Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists o(x)\in V\quad\forall p(x)\in V: \qquad o(x) + p(x) = p(x).\]

    Tj. existuje nějaký nulový polynom \(o\) ve \(V\), takový, že přičtu-li tento nulový polynom k libovolnému polynomu množiny \(V\), získám tentýž polynom?

  • Nápověda 4 - existence opačných polynomů

    Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \[\forall p(x) \in V~~\exists \left[-\bar{p}(x)\right] \in V: \quad p(x) + \left[-\bar{p}(x)\right] = \bar{o}(x) = 0.\]

    Tj. existuje pro každý polynom \(p(x)\) množiny \(V\) opačný polynom \(\left[-\bar{p}(x)\right]\), tavový, že součet polynomu a jeho opačného polynomu dává nulový polynom?

  • Nápověda 5 – násobení součtů polynomů, skalárů

    Prověřte, zda-li platí patý a šestý axiom \[ \begin{array}{ll} \forall a\in \mathbb{R}~~~\forall p_1(x),~p_2(x) \in V: & \quad a\cdot\left[p_1(x)+p_2(x)\right] = a\cdot p_1(x) + a\cdot p_2(x)\\ &\mathrm{Násobení}~(\cdot)~\mathrm{součtu~polynomů~skalárem}\\ \forall a,b \in \mathbb{R}~~~\forall p(x) \in V: & \quad (a+b)\cdot p(x) = a\cdot p(x) + b\cdot p(x)\\ &\mathrm{Násobení}~(\cdot)~\mathrm{polynomu~součtem~skalárů} \end{array} \]
  • Nápověda 6 – násobení polynomu součinem skalárů

    Prověřte, zda-li platí sedmý axiom \[ \forall a,b \in \mathbb{R}\quad\forall p(x) \in V: \qquad (a\ast b)\cdot p(x)= a \cdot \big[b\cdot p(x)\big]. \]
  • Nápověda 7 – existence jednotkového prvku

    Prověřte, zda-li platí osmý axiom \[ \forall p(x) \in V: \quad \bar{1}\cdot x = x. \]
  • Odpověď

    Množina polynomů

    \[V = \big\{ p(x);\, 8p(0) + 6p(1) = 0\big\}\]

    je vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze