Sbírka řešených úloh

Násobení matic II.

Úloha číslo: 1309

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součinu matic.

  Kdykoli máme určit součin dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice v rámci posloupnosti násobení přijatelného typu. V opačném případě není možné matice násobit.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je násobení asociativní a tedy můžeme této vlastnosti využívat. Musíme si ale dát pozor, že násobení matic není obecně komutativní, proto je třeba vždy pečlivě zachovávat posloupnost jednotlivých součinů.

  Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součinu

  Ověřte, zda je možné uvedené matice v dané posloupnosti násobit.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součinu

  Dvě matice \(A,B\) můžeme násobit, je-li \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) a \(B= (b_{jk})_{n\times p}\).
  Jinými slovy, je-li počet sloupců první matice roven počtu řádků druhé.

  Matice \( A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{array} \right) \) je typu \(2\times 3\), (má 2 řádky a 3 sloupce).

  Matice \(B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\) je typu \(4\times 3\), (má 4 řádky a 3 sloupce).

  Zadané matice není možné v požadovaném pořadí vynásobit, neboť první matice v součinu má sloupce tři, zatímco druhá má řádky čtyři.

• Odpověď

  Zadané matice není možné v požadovaném pořadí vynásobit, neboť počet sloupců první matice není roven počtu řádků druhé.