Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Základní pojmy II.

Úloha číslo: 1412

Určete charakteristickou matici, charakteristický polynom, vlastní čísla a spektrum matice \(C\) nad tělesem \(\mathbb{R}.\)

\[ C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 7 & -1\\ -7 & -2 & 2 & 8\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{pmatrix}. \]
  • Nápověda 1 – charakteristická matice

    Sestavte charakteristickou matici matice \(C\).

    Charakteristickou maticí matice \(C\) je matice \(\lambda E - C\),
    kde \(E\) je matice jednotková.
  • Nápověda 2 – charakteristický polynom

    Určete charakteristický polynom matice \(C\).

    Charakteristický polynom matice \(C\), značíme \(p(\lambda)\),
    je determinant její charakteristické matice \(\lambda E - C\).

    Připomeňte si metody výpočtu determinantů vyššího řádu, zejména užití rozvoje.

    Determinant matice třetího řádu lze určit Sarrusovým pravidlem.

  • Nápověda 3 – vlastní čísla

    Určete vlastní čísla matice \(C\).

    Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \(p(\lambda)\).
  • Nápověda 4 – spektrum

    Určete spektrum matice \(C\).

    Spektrum matice \(C\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž je vlastní číslo v souboru zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu.
  • Výsledky

    Pro matici \(C\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli
    • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda - 4 & 0 & -7 & 1\\ 7 & \lambda +2 & -2 & -8\\ 0 & 0 & \lambda + 1 & 0 \\ -1 & 0 & -9 & \lambda - 2 \\ \end{pmatrix}\),
    • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda -3)^2\),
    • vlastní čísla \(\lambda_1 = -1,\ \lambda_{2} = -2,\ \lambda_{3{,}4}= 3\),
    • spektrum \(\lbrace -1,-2,{}3,{}3\rbrace\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze