Sbírka řešených úloh

Cauchy-Schwarzova nerovnost

Úloha číslo: 1437

• Strategie – x,y lineárně závislé

  Jsou-li \(x,y\) lineárně závislé, pak existuje \(a\in\mathbb{R}\) takové, že \[x=ay.\] Dosaďte za \(x\) do levé i pravé strany nerovnosti a porovnejte.

• Důkaz – x,y lineárně závislé

  Levá strana nerovnosti \[ \mathrm{L} = |f(x,y)| = |f(ay,y)| = |af(y,y)| = |a|\lVert y \rVert ^2. \] Pravá strana nerovnosti \[\mathrm{P} = \lVert x \rVert \lVert y \rVert = \lVert ay \rVert \lVert y \rVert = |a|\lVert y \rVert ^2.\] Platí \(\mathrm{L} = \mathrm{P}.\) V případě lineárně závislých vektorů \(x,y\) platí rovnost.

• Strategie – x,y lineárně nezávislé

  Nechť jsou \(x,y\) lineárně nezávislé. Uvažte jejich následující lineární kombinaci \[x - ay.\] Pro normu tohoto vektoru platí \[\lVert x-ay \rVert \gt 0.\] A tedy i \[\lVert x-ay \rVert^2 \gt 0.\] Z definice normy rozepište levou stranu. Užijte linearity a symetrie skalárního součinu. Má vzniklý kvadratický trojčlen v proměnné \(a\) reálné kořeny? Co platí pro jeho diskriminant?

• Důkaz – x,y lineárně nezávislé

  Pro vektory \(x,y\) platí \[\lVert x-ay \rVert^2 \gt 0.\] Dle definice normy rozepíšeme levou stranu nerovnosti \[f(x-ay,x-ay) \gt 0.\] Užijeme linearity \(f\) v obou složkách \[f(x,x)-af(x,y) - af(y,x)+a^2f(y,y) \gt 0.\] Skalární součin je symetrický \[f(x,x)-2af(x,y) +a^2f(y,y) \gt 0.\] „Identifikujeme“ druhé mocniny norem vektorů \(x,y\) \[\lVert x \rVert^2 -2af(x,y) +a^2\lVert y \rVert^2 \gt 0.\] Levá strana nerovnice představuje kvadratický trojčlen v proměnné \(a\), který nemá reálné kořeny (\(\gt 0\)). Pro její diskriminant tedy platí \[D = \left[-2f(x,y)\right]^2 - 4\lVert y \rVert^2 \lVert x \rVert^2 \lt 0\] Odtud již snadno \[\left[f(x,y)\right]^2 \lt \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2. \] A po odmocnění \[|f(x,y)| \lt \lVert x \rVert \lVert y \rVert.\] \[\square\] Zjistili jsme, že v případě lineární nezávislosti vektorů \(x,y\) platí ostrá nerovnost.