Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Skalární součin II.

Úloha číslo: 1435

Skalární součin \(f\) na prostoru \(\mathbb{R}^4\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření

\[\hspace{-0.1cm}f(x,y) = x_1y_1 + x_1y_4 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3 + 2x_3y_4 + x_4y_1+ 2x_4y_3+ 3x_4y_4.\]
  1. Najděte nějakou ortogonální a ortonormální bázi prostoru \(\mathbb{R}^4\).
  2. Zjistěte, zda jsou vektory \(x,y\) na sebe kolmé.

    • \(x=(1,{}0,{}3,-2)\quad y=(2,-1,{}1,{}2)\)

  3. Určete, jaký úhel svírají vektory \(u,v\).

    • \(u=(2,{} 1,{}0,{}1)\quad v=(0,{}3,{}1,-1)\)

  4. Určete ortogonální doplňky podprostorů \(W_1, W_2\) v prostoru \(\mathbb{R}^4\).

    • \(W_1 = \big[x\big]\)
    • \(W_2 = \big[u,v\big]\)

  • Poznámka

    K řešení úlohy je třeba znát teorii související s bilineárními formami. Důležité poznatky potřebné k úlohám o skalárním součinu jsou shrnuty zde.

  • a) Nápověda – ortogonální a ortonormální báze

    Nalezněte nějakou ortogonální a ortonormální bázi.

    Při úpravě na polární (popř. normální) tvar zaznamenávejte řádkové úpravy. Výsledná transformační matice má v řádcích vektory OG (popř. ON) báze.

  • b) Nápověda – kolmost vektorů

    Zjistěte, jsou-li vektory \(x,y\) na sebe kolmé.

    (i) Kolmé (ortogonální) vektory

    Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem \(f\).

    Vektory \(u,v\in V\) se nazývají kolmé (ortogonální), je-li \(f(x,y)=0.\)

  • c) Nápověda – úhel vektorů u,v

    Určete úhel, který svírají vektory \(u,v\).

    Nejprve vypočítejte jejich skalární součin a normy. Vypočítané hodnoty dále dosaďte do vztahu pro úhel vektorů.

  • d) Nápověda – ortogonální doplňky

    Určete ortogonální doplňky podprostorů \(W_1,W_2\) v prostoru \(\mathbb{R}^4\).

    Ortogonální doplněk

    Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

    Ortogonálním doplňkem podprostoru \(W\) prostoru \(V\) budeme rozumět množinu všech vektorů z \(V\), které jsou kolmé na všechny vektory z \(W\).

    Symbolicky

    \[W^\perp = \big\lbrace v\in V;\ f(v,w)=0,\ \forall w \in W \big\rbrace.\]
  • Odpověď

    1. Ortogonální a ortonormální báze \[OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0,{}0),(0,{}1,{}0,{}0),(0,{}0,{}1,{}0),(3,{}0,{}2,{}-3) \big\rbrace,\] \[ \hspace{-0.4cm}ON = \left\lbrace (1{},0,{}0,{}0), \left(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2},{}0,{}0\right),\left(0,{}0,\tfrac{\sqrt{3}}{3},{}0\right), \left(\tfrac{\sqrt{6}}{2},{}0,\tfrac{\sqrt{6}}{3},-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\right\rbrace. \]
    2. Vektory \(x,y\) nejsou kolmé.
    3. Úhel vektorů \(u,v\) je \(\varphi = \arccos \tfrac{3}{\sqrt{13}\sqrt{20}}\doteq 79^\mathrm{\circ}\,17^\prime\).
    4. Ortogonální doplňky \[W_1^\perp = \big[ (0,{}1,{}0,{}0), (5,{}0,{}1,{}0), (1,{}0,{}0,{}1) \big],\] \[W_2^\perp = \big[ (2,{}1,-4,{}0), (16,{}1,{}0,-10) \big].\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze