Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Základní pojmy

Úloha číslo: 1410

Připomeňte si následující definici. Obsahuje pojmy, které budeme používat.
(i) Základní pojmy

Nechť \(A\) je čtvercová matice nad polem \(T\).

Charakteristickou maticí matice \(A\) rozumíme matici \(\lambda E - A\). Charakteristickým polynomem matice \(A\) rozumíme polynom \(\det(\lambda E-A)\). Jeho kořeny (v poli \(T\)) jsou tzv. vlastní čísla matice \(A\). Násobností vlastního čísla rozumíme jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu. Spektrum matice \(A\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž se každé bere tolikrát, kolik činí jeho násobnost.

Úkol:

Určete charakteristickou matici, charakteristický polynom, vlastní čísla a spektrum matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}.\)

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 4 \end{pmatrix}. \]
  • Poznámka k definici

    Má-li spektrum obsahovat kořeny v počtu jejich násobností, nemůže být množinou. Množina totiž obsahuje prvky vždy pouze po jednom „exempláři“. Potřebnou schopností obsahovat prvek i vícekrát oplývá soubor. Proto je spektrum soubor.
  • Nápověda 1 – charakteristická matice

    Sestavte charakteristickou matici matice \(A\).

    Charakteristickou maticí matice \(A\) je matice \(\lambda E - A\),
    kde \(E\) je matice jednotková.
  • Nápověda 2 – charakteristický polynom

    Určete charakteristický polynom matice \(A\).

    Charakteristický polynom matice \(A\), značíme \(p(\lambda)\),
    je determinant její charakteristické matice \(\lambda E - A\).

    Determinant matice druhého řádu lze určit Sarrusovým pravidlem.
  • Nápověda 3 – vlastní čísla

    Určete vlastní čísla matice \(A\).

    Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \(p(\lambda)\).
  • Nápověda 4 – spektrum

    Určete spektrum matice \(A\).

    Spektrum matice \(A\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž je vlastní číslo v souboru zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu.
  • Výsledky

    Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli
    • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda-1 & -2\\ -5 & \lambda - 4 \end{pmatrix}\),
    • charakteristický polynom \(p(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda-6)\),
    • vlastní čísla \(\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = 6\),
    • spektrum \(\lbrace 6,-1\rbrace\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze