Sbírka řešených úloh

Základní pojmy

Úloha číslo: 1410

• Poznámka k definici

  Má-li spektrum obsahovat kořeny v počtu jejich násobností, nemůže být množinou. Množina totiž obsahuje prvky vždy pouze po jednom „exempláři“. Potřebnou schopností obsahovat prvek i vícekrát oplývá soubor. Proto je spektrum soubor.

• Nápověda 1 – charakteristická matice

  Sestavte charakteristickou matici matice \(A\).

  Charakteristickou maticí matice \(A\) je matice \(\lambda E - A\),
  kde \(E\) je matice jednotková.

• Řešení nápovědy 1 – charakteristická matice

  Sestavíme charakteristickou matici \(\lambda E - A\) matice \(A\). \[ \lambda E - A = \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 4 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda-1 & -2\\ -5 & \lambda - 4 \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – charakteristický polynom

  Určete charakteristický polynom matice \(A\).

  Charakteristický polynom matice \(A\), značíme \(p(\lambda)\),
  je determinant její charakteristické matice \(\lambda E - A\).

  Determinant matice druhého řádu lze určit Sarrusovým pravidlem.

• Řešení nápovědy 2 – charakteristický polynom

  Charakteristický polynom matice je determinant její charakteristické matice. Určíme jej \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2\\ -5 & \lambda - 4 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 4) - 10. \] Pro další práci je výhodné převést polynom na součin kořenových činitelů. \[ p(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 4) - 10 = \lambda^2 - 5\lambda - 6 = (\lambda + 1)(\lambda-6). \] Charakteristickým polynomem matice \(A\) nad \(\mathbb{R}\) je polynom \[ p(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda-6). \]

• Nápověda 3 – vlastní čísla

  Určete vlastní čísla matice \(A\).

  Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \(p(\lambda)\).

• Řešení nápovědy 3 – vlastní čísla

  V předchozí části úlohy jsme určili charakteristický polynom matice \(A\) \[p(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda - 6).\] Kořeny tohoto polynomu \(\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = 6\) jsou vlastními čísly matice \(A\).

• Nápověda 4 – spektrum

  Určete spektrum matice \(A\).

  Spektrum matice \(A\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž je vlastní číslo v souboru zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu.

• Řešení nápovědy 4 – spektrum

  Spektrum je soubor vlastních čísel, který zohledňuje jejich násobnost v charakteristickém polynomu.

  V tomto případě má polynom pouze jednoduché kořeny, vlastní čísla jsou tedy ve spektru zastoupeny po jednom. Spektrum matice \(A\) je tedy soubor \(\big\lbrace 6,-1\big\rbrace\).

• Výsledky

  Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli

  • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda-1 & -2\\ -5 & \lambda - 4 \end{pmatrix}\),
  • charakteristický polynom \(p(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda-6)\),
  • vlastní čísla \(\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = 6\),
  • spektrum \(\lbrace 6,-1\rbrace\).