Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Lineární forma II.

Úloha číslo: 1442

Rozhodněte, zda zobrazení \(g\), které každé čtvercové matici \(A\) řádu \(n\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) přiřadí k ní transponovanou matici \(A^{\mathrm{T}}\) je lineární forma či nikoli.

  • Rozbor

    Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

    Nechť \( V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

    1. \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
    2. \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)

    Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.

    Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).

    Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.

  • Nápověda 1. - Odkud Kam

    Nejprve je nutné, v souladu s definicí, ověřit zda-li je \(g\) zobrazení z vektorového prostoru \(V\) do tělesa \(T\), nad kterým je prostor \(V\) definován.

    Postačí si tedy rozmyslet, odkud kam je skrze \(g\) zobrazováno.

  • Řešení

    Zobrazení \(g\) není lineární forma, neboť obecně neplatí \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}\), ale \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n}\)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze