Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Anulující polynom matice

Úloha číslo: 1417

Hledáme-li anulující polynom pro libovolnou matici, ukazuje se, že jej máme na dosah ruky, neboť platí
Cayley-Hamiltonova věta (i) Každá matice je kořenem svého charakteristického polynomu.
(ii) Charakteristický polynom matice \(A\) je jejím polynomem anulujícím.
Pro matici \(n\)-tého řádu tak automaticky máme anulující polynom \(n\)-tého stupně.

Úkol:

Ověřte na případu matice \(A\), že je kořenem svého charakteristického polynomu. \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{nad}\ \mathbb{R}. \]
  • Nápověda

    Nalezněte charakteristický polynom matice \(A\), tj. určete \(\det (\lambda E - A)\).

    Dosaďte do charakteristického polynomu matici \(A\) a ověřte, že je skutečně jeho kořenem.
  • Poznámka

    Tímto jsme Cayley-Hamiltonovu větu samozřejmě nedokázali, ale ověřili jsme její platnost na jednom příkladě.

    Ukazuje se, že pro matici může někdy existovat anulující polynom nižšího stupně, než je její charakteristický polynom. Nejmenší možný anulující polynom matice nazýváme minimální polynom a věnuje se mu příklad Minimální polynom.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze