Sbírka řešených úloh

Anulující polynom matice

Úloha číslo: 1417

• Nápověda

  Nalezněte charakteristický polynom matice \(A\), tj. určete \(\det (\lambda E - A)\).

  Dosaďte do charakteristického polynomu matici \(A\) a ověřte, že je skutečně jeho kořenem.

• Řešení nápovědy

  Nejprve sestavíme charakteristickou matici \[\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 3 \end{pmatrix} . \] Určíme charakteristický polynom \[ p(\lambda) = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3) - 4 = \lambda^2 - 4\lambda -1. \] Do polynomu dosadíme matici \(A\) \[ p(A) = A^2 - 4A - E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^2 - 4\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \] \[ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} =O. \] Dosazením matice \(A\) do jejího charakteristického polynomu jsme dostali nulovou matici. Charakteristický polynom matice \(A\) je tedy jejím anulujícím polynomem a matice \(A\) je kořenem svého charakteristického polynomu.

• Poznámka

  Tímto jsme Cayley-Hamiltonovu větu samozřejmě nedokázali, ale ověřili jsme její platnost na jednom příkladě.

  Ukazuje se, že pro matici může někdy existovat anulující polynom nižšího stupně, než je její charakteristický polynom. Nejmenší možný anulující polynom matice nazýváme minimální polynom a věnuje se mu příklad Minimální polynom.