Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vektorový prostor III.

Úloha číslo: 1357

Rozhodněte, zda je množina \(\mathbb{R}^{+}\) s operacemi \(\oplus,\odot\) vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).

Operace \(\oplus,\odot\) jsou dány následovně

\[\forall x,y \in \mathbb{R}^{+}\quad x \oplus y = x\cdot y,\] \[\forall a \in \mathbb{R},~\forall x \in \mathbb{R}^{+}:\quad a\odot x = x^a. \]
  • Rozbor

    Máme-li rozhodnout, zda-li množina s operacemi nad nějakým polem tvoří vektorový prostor, musíme ověřit všechny předpoklady a axiomy z definice vektorového prostoru.

    Je třeba tedy

    • zkontrolovat, aby výsledkem obou operací byl opět prvek množiny,
    • ověřit platnost axiomů (i) – (viii).

    Je třeba dávat pozor na to, jaká množina je dána; nad jakým polem a jak jsou operace udány.

  • Nápověda 1 – „uzavřenost“ na operace

    Aby množina \(\mathbb{R}^{+}\) byla vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), je třeba aby součet \(\oplus\) libovolných dvou vektorů dal opět vektor množiny \(V=\mathbb{R}^{+}\). Z množiny \(\mathbb{R}^{+}\) musí být i výsledek násobení \(\odot\) libovolného prvku pole \(\mathbb{R}\) a libovolného vektoru množiny \(\mathbb{R}^{+}\). Ověřte!
  • Nápověda 1 – asociativní zákon

    Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,x,y,z \in \mathbb{R}^{+}:\quad (x\oplus y) \oplus z =x \oplus (y\oplus z).\]
  • Nápověda 2 – komutativní zákon

    Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,x,y \in \mathbb{R}^{+}:\quad x\oplus y = y\oplus x.\]
  • Nápověda 3 – existence nulového vektoru

    Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists \bar{o}\in \mathbb{R}^{+}\quad\forall x\in \mathbb{R}^{+}: \qquad \bar{o} \oplus x = x.\]

    Tj. existuje nějaký nulový vektor \(\bar{o}\) v \(\mathbb{R}^{+}\), takový, že přičtu-li tento nulový vektor k libovolnému vektoru množiny \(\mathbb{R}^{+}\), získám tentýž vektor?

  • Nápověda 4 - existence opačných vektorů

    Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \[\forall x \in \mathbb{R}^{+} \quad \exists (-\bar{x}) \in \mathbb{R}^{+}: \qquad x \oplus (-\bar{x}) = \bar{o}.\]

    Tj. existuje pro každý vektor \(x\) množiny \(\mathbb{R}^{+}\) opačný vektor \((-\bar{x})\), tavový, že součet vektoru a jeho opačného vektoru dává nulový vektor?

  • Nápověda 5 – násobení součtů vektorů, skalárů

    Prověřte, zda-li platí patý a šestý axiom \[ \begin{array}{ll} \forall a\in \mathbb{R}~~~\forall x,\,y \in \mathbb{R}^{+}: & \quad a\odot(x\oplus y) = (a\odot x) \oplus (a\odot y)\\ &\mathrm{Násobení~součtu~vektorů~skalárem}\\ \forall a,b \in \mathbb{R}~~~\forall x \in \mathbb{R}^{+}: & \quad (a+b)\odot x = (a\odot x) \oplus (b\odot x)\\ &\mathrm{Násobení~vektoru~součtem~skalárů} \end{array} \]
  • Nápověda 6 – násobení vektoru součinem skalárů

    Prověřte, zda-li platí sedmý axiom \[ \forall a,b \in \mathbb{R}\quad\forall x \in \mathbb{R}^{+}: \qquad (a \cdot b)\odot x= a \odot (b\odot x). \]

    Poznámka: operace \(\cdot\) zde značí klasické násobení ve struktuře pole \(\mathbb{R}\).

  • Nápověda 7 – existence jednotkového prvku

    Prověřte, zda-li platí osmý axiom \[ \forall x \in \mathbb{R}^{+}: \quad \bar{1}\odot x = x. \]
  • Odpověď

    Množina \(\mathbb{R}^{+}\) s operacemi \(\oplus,\odot\) je vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze