Sbírka řešených úloh

Vektorový prostor III.

Úloha číslo: 1357

• Rozbor

  Máme-li rozhodnout, zda-li množina s operacemi nad nějakým polem tvoří vektorový prostor, musíme ověřit všechny předpoklady a axiomy z definice vektorového prostoru.

  Je třeba tedy

  • zkontrolovat, aby výsledkem obou operací byl opět prvek množiny,
  • ověřit platnost axiomů (i) – (viii).

  Je třeba dávat pozor na to, jaká množina je dána; nad jakým polem a jak jsou operace udány.

• Nápověda 1 – „uzavřenost“ na operace

  Aby množina \(\mathbb{R}^{+}\) byla vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), je třeba aby součet \(\oplus\) libovolných dvou vektorů dal opět vektor množiny \(V=\mathbb{R}^{+}\). Z množiny \(\mathbb{R}^{+}\) musí být i výsledek násobení \(\odot\) libovolného prvku pole \(\mathbb{R}\) a libovolného vektoru množiny \(\mathbb{R}^{+}\). Ověřte!

• Řešení nápovědy 1 – „uzavřenost“ na operace

  Uvažme nejprve, zda platí \[\forall x,y \in \mathbb{R}^{+}:\qquad x\oplus y \in \mathbb{R}^{+}.\] Operace \(\oplus\) je dána \(x\oplus y = x\cdot y\). Dosaďme do formulky toto vyjádření operace. \[\forall x,y \in \mathbb{R}^{+}:\qquad x\cdot y \in \mathbb{R}^{+}\]

  Součin dvou kladných čísel je vždy kladný. Množina je uzavřená na sčítání.

  ---

  Nyní uvažme, zda platí \[\forall x \in \mathbb{R}^{+}~~~\forall a \in \mathbb{R}:\qquad a\odot x \in \mathbb{R}^{+}. \] Operace \(\odot\) je dána \(a\odot x = x^a\). Dosaďme do formulky toto vyjádření operace. \[\forall x \in \mathbb{R}^{+}~~~\forall a \in \mathbb{R}:\qquad x^a \in \mathbb{R}^{+}\]

  Libovolným mocněním kladného čísla získáme opět číslo kladné.
  Množina je uzavřená na násobení skalárem.

• Nápověda 1 – asociativní zákon

  Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,x,y,z \in \mathbb{R}^{+}:\quad (x\oplus y) \oplus z =x \oplus (y\oplus z).\]

• Řešení nápovědy 1 – asociativní zákon

  Na základě udaných operací upravíme levou i pravou stranu axiomu.
  Operaci \(\oplus\) budeme postupně nahrazovat dle uvedeného vztahu \(x\oplus y = x\cdot y\). \[\mathrm{L} = (x\oplus y) \oplus z = (x\cdot y) \oplus z = (x\cdot y)\cdot z = x\cdot y \cdot z \] \[\mathrm{P}=x \oplus (y\oplus z) = x\oplus(y\cdot z)= x\cdot(y\cdot z) = x\cdot y \cdot z\]

  Pro všechna kladná reálná \(x,y\) a \(z\) je \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\), axiom (i) je tedy splněn.

• Nápověda 2 – komutativní zákon

  Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,x,y \in \mathbb{R}^{+}:\quad x\oplus y = y\oplus x.\]

• Řešení nápovědy 2 – komutativní zákon

  Na základě udaných operací upravíme levou i pravou stranu axiomu.
  Operaci \(\oplus\) budeme postupně nahrazovat dle uvedeného vztahu \(x\oplus y = x\cdot y\). \[\mathrm{L} = x \oplus y = x\cdot y\] \[\mathrm{P} = y \oplus x = y\cdot x\]

  Pro všechna kladná reálná \(x,y\) je \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\), neboť obvyklé násobení \((\cdot)\) je jako binární operace komutativní. Axiom (ii) je tedy splněn.

• Nápověda 3 – existence nulového vektoru

  Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists \bar{o}\in \mathbb{R}^{+}\quad\forall x\in \mathbb{R}^{+}: \qquad \bar{o} \oplus x = x.\]

  Tj. existuje nějaký nulový vektor \(\bar{o}\) v \(\mathbb{R}^{+}\), takový, že přičtu-li tento nulový vektor k libovolnému vektoru množiny \(\mathbb{R}^{+}\), získám tentýž vektor?

• Řešení nápovědy 3 – existence nulového vektoru

  Hledáme vektor \(\bar{o}\) tak aby pro všechna \(x\) množiny \(\mathbb{R}^{+}\) platilo

  \[\bar{o} \oplus x = x.\]

  Na vektory provedeme operaci \(\oplus\) dle uvedeného vztahu \(x\oplus y = x\cdot y\), tj.

  \[\bar{o} \cdot x = x.\]

  Pro platnost rovnosti pro všechna \(x\) množiny \(\mathbb{R}^{+}\) musí být

  \[\bar{o} = 1.\]

  Tento vektor je ve zkoumané množině obsažen (\(1 \in \mathbb{R}^{+}\)), axiom (iii) je splněn.

• Nápověda 4 - existence opačných vektorů

  Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \[\forall x \in \mathbb{R}^{+} \quad \exists (-\bar{x}) \in \mathbb{R}^{+}: \qquad x \oplus (-\bar{x}) = \bar{o}.\]

  Tj. existuje pro každý vektor \(x\) množiny \(\mathbb{R}^{+}\) opačný vektor \((-\bar{x})\), tavový, že součet vektoru a jeho opačného vektoru dává nulový vektor?

• Řešení nápovědy 4 – existence opačných vektorů

  Pro každý vektor \(x\) množiny \(\mathbb{R}^{+}\) máme najít opačný vektor \((-\bar{x})\), tak aby platilo

  \[ x \oplus (-\bar{x}) = 1,\]

  kde jsme dosadili nulový vektor \(\bar{o} = 1\) získaný při ověřování předchozího axiomu.

  Na vektory provedeme operaci \(\oplus\) dle uvedeného vztahu \(x\oplus y = x\cdot y\), tj.

  \[ x \cdot (-\bar{x}) = 1.\] Odtud vyjádříme tvar opačného vektoru \((-\bar{x})\) k vektoru \(x\) \[(-\bar{x}) = \frac{1}{x}.\]

  Ke každému vektoru \(x\) množiny \(\mathbb{R}^{+}\) existuje v téže množině opačných vektor \((-\bar{x})\). Opačný vektor \((-\bar{x})\) k vektoru \(x\) je dán výrazem \(\frac{1}{x}\).

  Opačné vektory existují, axiom (iv) je splněn.

• Nápověda 5 – násobení součtů vektorů, skalárů

  Prověřte, zda-li platí patý a šestý axiom \[ \begin{array}{ll} \forall a\in \mathbb{R}~~~\forall x,\,y \in \mathbb{R}^{+}: & \quad a\odot(x\oplus y) = (a\odot x) \oplus (a\odot y)\\ &\mathrm{Násobení~součtu~vektorů~skalárem}\\ \forall a,b \in \mathbb{R}~~~\forall x \in \mathbb{R}^{+}: & \quad (a+b)\odot x = (a\odot x) \oplus (b\odot x)\\ &\mathrm{Násobení~vektoru~součtem~skalárů} \end{array} \]

• Řešení nápovědy 5 – násobení součtů vekotrů, skalárů

  Na základě udaných operací upravíme levou i pravou stranu axiomu.

  Operaci \(\oplus\) budeme provádět dle udaného vztahu \(x\oplus y = x\cdot y\).
  Operaci \(\odot\) budeme provádět dle udaného vztahu \(a\odot x = x^a\).

  ---

  Ověřme nejprve platnost pátého axiomu.

  \[\mathrm{L} = a\odot(x\oplus y) = a\odot(x\cdot y) = (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a\] \[\mathrm{P} = (a\odot x) \oplus (a\odot y) = x^a \oplus y^a = x^a \cdot y^a\]

  Pro všechna kladná reálná \(x,y\) a libovolné reálné \(a\) je \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\).
  Axiom (v) je tedy splněn.

  ---

  Ověřme nyní platnost šestého axiomu.

  \[\mathrm{L} = (a+b)\odot x = x^{a+b} = x^a\cdot x^b\] \[\mathrm{P} = (a\odot x) \oplus (b\odot x) = x^a \oplus y^a = x^a \cdot y^a\]

  Pro všechna kladná reálná \(x\) a libovolná reálná \(a,b\) je \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\).
  Axiom (vi) je tedy splněn.

• Nápověda 6 – násobení vektoru součinem skalárů

  Prověřte, zda-li platí sedmý axiom \[ \forall a,b \in \mathbb{R}\quad\forall x \in \mathbb{R}^{+}: \qquad (a \cdot b)\odot x= a \odot (b\odot x). \]

  Poznámka: operace \(\cdot\) zde značí klasické násobení ve struktuře pole \(\mathbb{R}\).

• Řešení nápovědy 6 – násobení vektoru součinem skalárů

  Na základě udaných operací upravíme levou i pravou stranu axiomu.

  Operaci \(\odot\) provedeme dle udaného vztahu \(a\odot x = x^a\). \[\mathrm{L} = (a \cdot b)\odot x = x^{a\cdot b} = \left(x^b\right)^a\] \[\mathrm{P} = a \odot (b\odot x) = a\odot x^b = \left(x^b\right)^a\]

  Pro všechna kladná reálná \(x\) a libovolná reálná \(a,b\) je \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\).
  Axiom (vii) je tedy splněn.

• Nápověda 7 – existence jednotkového prvku

  Prověřte, zda-li platí osmý axiom \[ \forall x \in \mathbb{R}^{+}: \quad \bar{1}\odot x = x. \]

• Řešení nápovědy 7 – existence jednotkového prvku

  Axiom ve své podstatě nastavuje požadavek na existenci jednotkového prvku v uvažovaném poli.

  V tomto případě je polem komutativní těleso reálných čísel \(\mathbb{R}.\)

  Pro každé \(x \in \mathbb{R}^{+}\) by mělo platit

  \[ \quad \bar{1}\odot x = x. \] Operaci \(\odot\) provedeme dle udaného vztahu \(a\odot x = x^a\), tj. \[ \quad x^\bar{1} = x. \] Aby rovnost platila, je třeba, aby \[ \bar{1} = 1. \]

  Prvek \(1\) je v poli reálných čísel obsažen. Jednotkový prvek existuje.
  Axiom (viii) je splněn.

• Odpověď

  Množina \(\mathbb{R}^{+}\) s operacemi \(\oplus,\odot\) je vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).