Sbírka řešených úloh

Užití inverzní matice

Úloha číslo: 1389

• Průpravná rukojeť

  Uvažujme soustavu lineárních rovnic \[ Ax^\mathrm{T} = b^\mathrm{T}. \] Hledáme řešení, které je představováno vektorem \(x\). Je-li matice \(A\) regulární, pak k ní existuje inverzní matice \(A^{-1}\), kterou můžeme celou rovnost vynásobit zleva \[ x^\mathrm{T} = A^{-1}b^\mathrm{T}. \]

  ---

  Je třeba ověřit, zda je matice soustavy \(A\) skutečně regulární. Je-li regulární, vypočítáme k ní inverzní matici \(A^{-1}\) a nakonec vypočítáme řešení jako maticový součin \(A^{-1} b^\mathrm{T}.\)

• Nápověda 1 – výpočet inverzní matice

  Netřeba zvlášť zjišťovat, zda-li je matice regulární. Je možné se přímo pokusit nalézt inverzní matici. Pokud se během výpočtu některý z řádků vynuluje, matice je singulární a neexistuje inverzní matice – soustavu nelze touto metodou vyřešit.

  Sestavte matici soustavy \(A\) a pokuste se k ní vypočítat inverzní matici \(A^{-1}\).

• Řešení nápovědy 1 – výpočet inverzní matice

  Matice soustavy je tvořena příslušnými koeficienty v rovnicích \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}. \] Nyní vypočítáme (existuje-li) inverzní matici \(A^{-1}\) \[ \left( \begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & 2 & 1 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \,&\, 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \,&\, 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \,&\, 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+I\\ 2III+I\\ IV + II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & 2 & 1 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \,&\, 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III + II\\ IV + II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & 2 & 1 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \,&\, 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \,&\, 3 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \,&\, 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 4III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & 2 & 1 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \,&\, 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \,&\, 3 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+III\\ III+3IV\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \] \[ \phantom{0III+I} \sim \left( \begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & 2 & 1 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \,&\, 4 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \,&\, 2 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} 2(I+II+2III)\\ 2II\\ 3III\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \,&\, 3 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \,&\, 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right). \phantom{ \begin{array}{l} I/2+I/2\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \phantom{IV}\\ \end{array} } \] Na levé straně jsme získali jednotkovou matici. Matice \(A\) je tedy regulární. Matice \(A^{-1}\) k ní inverzní je na straně pravé. \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

• Nápověda 2 – výpočet řešení soustavy

  Zjistili jsme, že matice soustavy je regulární a nalezli jsme k ní matici inverzní. Transponovaný vektor řešení se, jak jsme v rozboru ukázali, rovná součinu matic \[x^\mathrm{T} = A^{-1}b^\mathrm{T}.\] Do součinu dosaďte inverzní matici, sloupec pravých stran a proveďte jej.

• Řešení nápovědy 2 – výpočet řešení soustavy

  Transponovaný vektor řešení se rovná součinu matic \[x^\mathrm{T} = A^{-1}b^\mathrm{T}.\] Do součinu dosaďme inverzní matici, sloupec pravých stran a proveďme jej. \[ x^\mathrm{T}= A^{-1}b^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix}. \] Soustava lineárních rovnic má jedno řešení \[ x_1 = 2\qquad x_2 = 4\qquad x_3 = 2\qquad x_4 = 1. \]

• Odpověď

  Udaná soustava lineárních rovnic má nad \(\mathbb{Z}_5\) právě jedno řešení \[ x_1 = 2\qquad x_2 = 4\qquad x_3 = 2\qquad x_4 = 1. \]