Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Užití inverzní matice

Úloha číslo: 1389

Nalezněte řešení soustavy lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_5\) \[ \begin{array}{rrrrr} 3x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & & & = & 1 \\ 2x_1 & + & x_2 & + &2x_3 & + & 3x_4 & = & 0 \\ x_1 & + & 2x_2 & + &3x_3 & & & = & 2 \\ 3x_1 & + & x_2 & + &2x_3 & + &2x_4 & = & 1 \\ \end{array} \] pomocí inverzní matice.
  • Průpravná rukojeť

    Uvažujme soustavu lineárních rovnic \[ Ax^\mathrm{T} = b^\mathrm{T}. \] Hledáme řešení, které je představováno vektorem \(x\). Je-li matice \(A\) regulární, pak k ní existuje inverzní matice \(A^{-1}\), kterou můžeme celou rovnost vynásobit zleva \[ x^\mathrm{T} = A^{-1}b^\mathrm{T}. \]
    Je třeba ověřit, zda je matice soustavy \(A\) skutečně regulární. Je-li regulární, vypočítáme k ní inverzní matici \(A^{-1}\) a nakonec vypočítáme řešení jako maticový součin \(A^{-1} b^\mathrm{T}.\)
  • Nápověda 1 – výpočet inverzní matice

    Netřeba zvlášť zjišťovat, zda-li je matice regulární. Je možné se přímo pokusit nalézt inverzní matici. Pokud se během výpočtu některý z řádků vynuluje, matice je singulární a neexistuje inverzní matice – soustavu nelze touto metodou vyřešit.

    Sestavte matici soustavy \(A\) a pokuste se k ní vypočítat inverzní matici \(A^{-1}\).
  • Nápověda 2 – výpočet řešení soustavy

    Zjistili jsme, že matice soustavy je regulární a nalezli jsme k ní matici inverzní. Transponovaný vektor řešení se, jak jsme v rozboru ukázali, rovná součinu matic \[x^\mathrm{T} = A^{-1}b^\mathrm{T}.\] Do součinu dosaďte inverzní matici, sloupec pravých stran a proveďte jej.
  • Odpověď

    Udaná soustava lineárních rovnic má nad \(\mathbb{Z}_5\) právě jedno řešení \[ x_1 = 2\qquad x_2 = 4\qquad x_3 = 2\qquad x_4 = 1. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze