Sbírka řešených úloh

Analytické vyjádření bilineární formy IV.

Úloha číslo: 1464

• Rozbor

  Úvodem

  Nejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:

  1. Lineární forma I.
  2. Analytické vyjádření lineární formy I.
  3. Matice homomorfismu
  4. Matice přechodu
  5. Matice homomorfismu
  6. Bilineární forma I.
  7. též je vhodné zopakovat si tzv. kouzelný vzorec.

  Teoretický aparát

  D: Nechť \(V\) je vektorový prostor nad tělesem \(T\)  \(M = \{m_1, \cdots, m_n \}\) jeho báze a \(f\) bilineární forma na prostoru \(V\). Maticí bilineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) budeme rozumět čtvercovou matici řádu \(n\) \(A=(a_{ij})\), pro kterou platí:

  \[\forall i,j = 1,\cdots, n: a_{ij}=f(m_i,m_j)\]

  Analytickým vyjádřením \(f\) dále budeme rozumět: \[f(x,y) =\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_{ij}x_iy_j}\]

  V: Nechť \(V\) je vektorový prostor dimenze \(n\) nad tělesem \(T\), \(M\) jeho báze, \(f\) bilineární forma na prostoru \(V\) a \(A\) čtvercová matice řádu \(n\) nad tělesem \(T\). Řekneme, že \(A\) je maticí bilineiární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), jestliže platí následující:

  \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}\]

  Postup

  Máme-li tedy k dispozici matici \(A=(a_{ij})\) bilineární formy \(f\) vzhledem k bázím \(M,N\) prostoru \(V\) dimenze \(n\) nad tělesem \(T\) a naším úkolem je získat matici formy \(f\) vzhledem k bázím \(K,L\) (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:

  \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}\]

  a chceme získat matici \(B\) tak, aby platilo:

  \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot B \cdot \langle y \rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{2}\]

  Ku splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu \(P_{KM}\) od báze \(K\) k bázi \(M\) a \(P_{LN}\) od báze \(L\) k bázi \(N\):

  \[\forall x \in V: \langle x\rangle_M^{\mathrm{T}}= P_{KM}\cdot\langle x\rangle_K^{\mathrm{T}} \]

  Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_M\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

  \[\forall x \in V: \langle x\rangle_M= \langle x\rangle_K \cdot P_{MK}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]

  Pro \(y\) obdobně získáváme:

  \[\forall y \in V: \langle y\rangle_N^{\mathrm{T}}= P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}} \tag{4}\]

  Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

  \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{5}\]

  Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

  \[B=P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\]

  a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{KM},\,\, P_{LN}\)

• Kouzelný vzoreček

  Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu \(f\) pro báze, vůči nimž je \(f\) zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření \(f\).

• Kouzelný vzoreček - řešení

  Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{R}^3\) je zadána vzhledem k bázi \(M\). Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}\]

  Jelikož máme \(f\) vyjádřit vzhledem k bázi \(N\) a ke kanonické bázi, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

  Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici \(B\).

• Kouzelný vzoreček - cesta k matici B

  Již víme, že kouzelný vzoreček formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) a ke kanonické bázi bude mít podobu:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

  Pomocí vhodných přechodů a  známé matice \(A\) formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici \(B\).

• Kouzelný vzoreček - cesta k matici B - řešení

  Vycházíme z:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}\]

  a chceme získat matici \(B\) tak, aby platilo:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}\]

  V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu \(P_{NM}\) od báze \(N\) k bázi \(M\) a \(P_{k.b.,M}\) od báze kanonické k bázi \(M\):

  \[\forall x \in \mathbb{R}^3: \langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{NM}\cdot\langle x \rangle_N^{\mathrm{T}} \]

  Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_{M}\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

  \[\forall x \in \mathbb{R}^3: \langle x\rangle_{M}= \langle x\rangle_{N} \cdot P_{NM}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]

  Pro \(y\) obdobně získáváme:

  \[\forall y \in \mathbb{R}^3: \langle y\rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,M}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \tag{4}\]

  Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_N \cdot P_{NM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,M}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}\]

  Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

  \[B=P_{NM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,M}\]

  a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{NM},\,\, P_{k.b.,M}\)

• Matice přechodu

  Vyjádřeme nyní matice přechodu \(P_{NM}\) od báze \(N\)k bázi \(M\) a \(P_{k.b.,M}\) od kanonické báze k bázi \(M\):

• Matice přechodu - řešení

  Matici přechodu \(P\) od báze \(C\) k bázi \(D\) hledáme řešením maticového výrazu \((D|C) \sim (E|P)\).

  Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

  Matici \(P_{NM}\) tedy získáme řešením \((M|N) \sim (E|P_{NM})\).

  po dosazení:

  \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I-II\\ II-III\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \] \[P_{NM}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

  Matici \(P_{k.b.,M}\) dále získáme řešením \((M|k.b.) \sim (E|P_{k.b.,M})\).

  po dosazení:

  \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I-II\\ II-III\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \] \[P_{k.b.,M} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

• Matice formy A vzhledem k bázím M,N

  Dle definice v rozboru určete matici formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\).

• Matice formy A vzhledem k bázím M,N - řešení

  Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{R}^3\) má vzhledem k bázi \(M\) analytické vyjádření:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3 : x_1y_1 + 2x_2y_2+ 3x_2y_3 -x_3y_3\]

  proto matice formy \(A\) bude vypadat následovně:

  \[A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

• Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření

  Pomocí zjištěných matic přechodu \(P_{NM},\,\, P_{k.b.,M}\), matice \(A\) formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici \(B\) a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy \(f\).

• Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření - řešení

  Matici \(B\) získáme:

  \[B=P_{NM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,M}\] \[A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\] \[P_{NM}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[P_{k.b.,M} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

  po dosazení získáváme:

  \[B= \begin{pmatrix} -1 & =1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ =\begin{pmatrix} 1 & -2 & -4\\ -1 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2\\ -1 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

  a tedy v souladu s

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

  bude požadované analytické vyjádření vypadat:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3 :f(x,y)=\] \[=-x_1y_1-3x_1y_2-2x_1y_3-x_2y_1+x_2y_2-x_2y_3+2x_3y_2+x_3y_3 \]

• Řešení

  Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{R}^3\) je zadána vzhledem k bázi \(M\). Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}\]

  Jelikož máme \(f\) vyjádřit vzhledem k bázi \(N\) a ke kanonické bázi, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

  Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici \(B\).

  Vycházíme z:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}\]

  a chceme získat matici \(B\) tak, aby platilo:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}\]

  V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu \(P_{NM}\) od báze \(N\) k bázi \(M\) a \(P_{k.b.,M}\) od báze kanonické k bázi \(M\):

  \[\forall x \in \mathbb{R}^3: \langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{NM}\cdot\langle x \rangle_N^{\mathrm{T}} \]

  Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_{M}\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

  \[\forall x \in \mathbb{R}^3: \langle x\rangle_{M}= \langle x\rangle_{N} \cdot P_{NM}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]

  Pro \(y\) obdobně získáváme:

  \[\forall y \in \mathbb{R}^3: \langle y\rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,M}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \tag{4}\]

  Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_N \cdot P_{NM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,M}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}\]

  Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

  \[B=P_{NM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,M}\]

  a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{NM},\,\, P_{k.b.,M}\)

  Matici přechodu \(P\) od báze \(C\) k bázi \(D\) hledáme řešením maticového výrazu \((D|C) \sim (E|P)\).

  Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

  Matici \(P_{NM}\) tedy získáme řešením \((M|N) \sim (E|P_{NM})\).

  po dosazení:

  \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I-II\\ II-III\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \] \[P_{NM}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

  Matici \(P_{k.b.,M}\) dále získáme řešením \((M|k.b.) \sim (E|P_{k.b.,M})\).

  po dosazení:

  \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I-II\\ II-III\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \] \[P_{k.b.,M} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

  Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{R}^3\) má vzhledem k bázi \(M\) analytické vyjádření:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3 : x_1y_1 + 2x_2y_2+ 3x_2y_3 -x_3y_3\]

  proto matice formy \(A\) bude vypadat následovně:

  \[A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

  Matici \(B\) získáme:

  \[B=P_{NM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,M}\]

  po dosazení získáváme:

  \[B= \begin{pmatrix} -1 & =1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ =\begin{pmatrix} 1 & -2 & -4\\ -1 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2\\ -1 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

  a tedy v souladu s

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3: f(x,y)= \langle x\rangle_{N} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

  bude požadované analytické vyjádření vypadat:

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3 :f(x,y)=\] \[=-x_1y_1-3x_1y_2-2x_1y_3-x_2y_1+x_2y_2-x_2y_3+2x_3y_2+x_3y_3 \]

• Analytické vyjádření

  \[\forall x,y \in \mathbb{R}^3 :f(x,y)=\] \[=-x_1y_1-3x_1y_2-2x_1y_3-x_2y_1+x_2y_2-x_2y_3+2x_3y_2+x_3y_3 \]