Sbírka řešených úloh

Soustava lineárních rovnic I.

Úloha číslo: 1392

• Rozbor

  Rozšířenou matici soustavy upravíme na odstupňovaný tvar pomocí Gaussova eliminačního algoritmu a nalezneme řešení.

  Vzhledem k homogenitě soustavy bude řešením lineární množina s nulovým vektorem. Postačí tedy určit podprostor řešení s nulovým sloupcem pravých stran.

• Nápověda 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Určete rozšířenou matici soustavy a upravte ji pomocí Gaussova eliminačního algoritmu na odstupňovaný tvar.

• Řešení nápovědy 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Sestavíme rozšířenou matici soustavy $$\left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \,&\, 0 \\ 1 & 5 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 1 & 5 & 5 & 2 \,&\, 0 \\ \end{array} \right),$$ a upravíme ji na odstupňovaný a v posledním kroku na elegantnější tvar. $$\left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \,&\, 0 \\ 1 & 5 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 1 & 5 & 5 & 2 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II-I\\ III-I\\ IV-III\\ \end{array} \sim$$ $$\sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 3 & -2 & -2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III-3II\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim$$ $$\sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ 5IV+4III\\ \end{array} \sim$$ $$\sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & -20 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III/(-5)\\ IV/(-20)\\ \end{array} \sim$$ $$\sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \phanto{IV}\\ \end{array} }$$

• Nápověda 2 – řešení homogenní soustavy

  Určete dimenzi řešení. Jak vypadá množina všech řešení udané soustavy?

• Řešení nápovědy 2 – řešení homogenní soustavy

  Dimenze řešení je dána rozdílem počtu neznámých a počtu nezávislých rovnic (řádků). Proto je dimenze řešení $4-4 = 0$. Nulovou dimenzi má jen triviální prostor, obsahující nulový vektor. Ten ostatně nalezneme i při přímém hledání $$\left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 0 \\ \end{array} \right)$$ $$\left[ \left( \begin{array}{c} \, \overset{0}{\_\_}, \overset{0}{\_\_}, \overset{0}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right) \right].\hspace{1.5em}$$ Řešením udané homogenní soustavy lineárních rovnic je nulový vektor.

• Odpověď

  Udaná soustava lineárních rovnic nad tělesem $\mathbb{R}$ má nulové řešení $K = 0$.