Sbírka řešených úloh

Součet matic I.

Úloha číslo: 1304

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součtu matic.

  Kdykoli máme určit součet dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice stejného typu $m\times n$. V opačném případě není možné matice sčítat.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je sčítání komutativní a asociativní. V důsledku toho je sčítání matic rovněž komutativní a asociativní. Těchto vlastností můžeme využívat a matice sčítat v libovolném pořadí.

  Matice bývají často zadány nad tělesem $\mathbb{Z}_p$, kde $p$ je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součtu

  Ověřte z definice součtu matic, zda je možné uvedené matice sečíst.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součtu

  Matice $$A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & \phantom{-}2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right)$$ je typu $4\times 3$, (má 4 řádky a 3 sloupce).

  Matice $$B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & -9 \\ 4 & 0 & -5 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ je typu $4\times 3$, (má také 4 řádky a 3 sloupce).

  Obě zadané matice jsou stejného typu a lze je tedy dle definice sečíst.

• Nápověda 2 – součet matic

  Zadané matice nyní dle definice součtu matic sečtěte.

• Řešení nápovědy 2 – součet matic

  Matice $A,B$ sečteme následovně

  $$A+B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & -9 \\ 4 & 0 & -5 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)=$$

  z definice součtu se prvek výsledné matice $C = A+B$ na pozici $ij$ rovná součtu prvku matice $A$ na pozici $ij$ a prvku matice $B$ na pozici $ij$, tj.

  $$=\left(\begin{array}{rrr} 1+0 & 2-1 & 3+2 \\ -2-2 & 5-3 & -9-9 \\ 4+4 & 1+0 & -2-5 \\ 1+3 & 2+2 & -2+0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & -18 \\ 8 & 1 & -7 \\ 4 & 4 & -2 \end{array}\right).$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  $$A+B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & -9 \\ 4 & 0 & -5 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{rrr} 1+0 & 2-1 & 3+2 \\ -2-2 & 5-3 & -9-9 \\ 4+4 & 1+0 & -2-5 \\ 1+3 & 2+2 & -2+0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & -18 \\ 8 & 1 & -7 \\ 4 & 4 & -2 \end{array}\right)$$

• Odpověď

  Součtem matic $A,B$ je matice $$\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & -18 \\ 8 & 1 & -7 \\ 4 & 4 & -2 \end{array}\right).$$