Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice přechodu

Úloha číslo: 1381

Matice přechodu je speciálním typem matice homomorfismu, která byla nadefinována v úloze Matice homomorfismu. Co to tedy matice přechodu je?
(i) Matice přechodu

Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) rozumíme matici identického automorfismu vzhledem k bázím \(M,N\)

Vše podrobně ukážeme rovnou na příkladě.

Úkol:

Najděte matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(\mathbb{Z}_3^3,\) jestliže \[ \begin{eqnarray} M &=& \big\{(1{,}0,1),(2{,}1,1),(0{,}0,2)\big\},\\ N &=& \big\{(0{,}1,1),(1{,}0,2),(2{,}0,2)\big\}.\\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    Při řešení úlohy se budeme držet postupů, které jsme užívali při řešení úloh

    s tím rozdílem, že namísto obecného homomorfismu zde půjde o identický automorfismus. Identický znamená, že se každý vektor zobrazí sám na sebe. Automorfismus je izomorfní endomorfismus, tedy jedná se o homomorfismus vektorového prostoru do stejného prostoru, který je vzájemně jednoznačný.

  • Nápověda

    Jaké jsou obrazy vektorů báze \(M\), je-li homomorfismus identický automorfismus?

    Vyjádřete tyto obrazy jako lineární kombinace vektorů báze \(N\). Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\)? Zapiště je dle definice do matice.

  • Odpověď

    Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(\mathbb{Z}_3^3\) je matice \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}. \]
  • Poznámka – jiné řešení

    Matice přechodu lze nalézt i jiným způsobem. Oproti tomu způsobu řešení je sice kratší, ale teorie, která k němu vede, je o něco složitější.

    Teorii i ukázkový příklad takového řešení naleznete v úloze Matice přechodu II..

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze