Sbírka řešených úloh

Matice přechodu

Úloha číslo: 1381

• Rozbor

  Při řešení úlohy se budeme držet postupů, které jsme užívali při řešení úloh

  • Matice homomorfismu,
  • Matice homomorfismu I.,
  • Matice homomorfismu II.,

  s tím rozdílem, že namísto obecného homomorfismu zde půjde o identický automorfismus. Identický znamená, že se každý vektor zobrazí sám na sebe. Automorfismus je izomorfní endomorfismus, tedy jedná se o homomorfismus vektorového prostoru do stejného prostoru, který je vzájemně jednoznačný.

• Nápověda

  Jaké jsou obrazy vektorů báze \(M\), je-li homomorfismus identický automorfismus?

  Vyjádřete tyto obrazy jako lineární kombinace vektorů báze \(N\). Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\)? Zapiště je dle definice do matice.

• Řešení nápovědy

  Obrazy báze \(M\) se při identickém automorfismu \(\bar{1}\) zobrazí sami na sebe. \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } \bar{1}(x,y,z) = (x,y,z)} \] \[ \begin{eqnarray} \bar{1}(1{,}0,1)&=&(1{,}0,1)\\ \bar{1}(2{,}1,1)&=&(2{,}1,1)\\ \bar{1}(0{,}0,2)&=&(0{,}0,2)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\) označíme následovně. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(1{,}0,1)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_1,b_1,c_1)\\ \big\langle(2{,}1,1)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_2,b_2,c_2)\\ \big\langle(0{,}0,2)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_3,b_3,c_3)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(N\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(N\) dávající příslušné obrazy. \[ \begin{eqnarray} (1{,}0,1) = a_1 (0{,}1,1) + b_1 (1{,}0,2) + c_1 (2{,}0,2)\\ (2{,}1,1) = a_2 (0{,}1,1) + b_2 (1{,}0,2) + c_2 (2{,}0,2)\\ (0{,}0,2) = a_3 (0{,}1,1) + b_3 (1{,}0,2) + c_3 (2{,}0,2)\\ \end{eqnarray} \]

  Souřadnice \(a_i, b_i, c_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.

  \[ \begin{equation} \left.\begin{aligned} &(1{,}0,1) \\ &(2{,}1,1) \\ &(0{,}0,2) \\ \end{aligned}\right\} = a_i (0{,}1,1) + b_i (1{,}0,2) + c_i (2{,}0,2) \end{equation} \] Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice. \[ \begin{array}{rrrrrrr} & & b_i & + & 2c_i & = &1 \,|\, 2 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(1)} \\ a_i & & & & & = &0 \,|\, 1 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(2)} \\ a_i & + & 2b_i & + & 2c_i & = &1 \,|\, 1 \,|\, 2 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \]

  Rovnici s \(i\)-tými indexy náleží jako pravá strana \(i\)-tý „chlíveček“.

  Tuto soustavu snadno vyřešíme. Bez úprav již máme \[ a_i = 0\,|\,1\,|\,0. \] Sečtením rovnic (1) a (3) a dosazením \(a_i\) \[ a_i + c_i = 2\,|\, 0 \,|\, 2 \quad \Rightarrow \quad c_i = 2a_i + 2\,|\, 0 \,|\, 2 = 2\,|\, 2 \,|\, 2. \] Z rovnice (1) dopočítáme hledané \(b_i\) \[ b_i = c_i + 1\,|\, 2 \,|\, 0 = 0\,|\, 1 \,|\, 2. \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice identického automorfismu \(\bar{1}\) vzhledem k bázím \(M,N\) je \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}. \] Matice identického automorfismu vzhledem k bázím \(M,N\) představuje matici přechodu od \(M\) k \(N\).

• Odpověď

  Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(\mathbb{Z}_3^3\) je matice \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}. \]

• Poznámka – jiné řešení

  Matice přechodu lze nalézt i jiným způsobem. Oproti tomu způsobu řešení je sice kratší, ale teorie, která k němu vede, je o něco složitější.

  Teorii i ukázkový příklad takového řešení naleznete v úloze Matice přechodu II..