Sbírka řešených úloh

Bilineární forma I.

Úloha číslo: 1459

• Rozbor

  Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je bilineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

  Nechť \(V\) Vektorový prostor nad \(T\), bilineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \times V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

  1. \(\forall x,y,z \in V: f(x+z,y) = f(x,y) + f(z,y)\)
  2. \(\forall x,y,z \in V: f(x,y+z) = f(x,y) + f(x,z)\)
  3. \(\forall x,y \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax,y) = af(x,y)\)
  4. \(\forall x,y \in V;\,\, \forall a \in T: f(x,ay) = af(x,y)\)

  Obě tyto vlastnosti udávají linearitu zobrazení.

  Bilineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojmu Homomorfismus).

  Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o bilineární formu.

  Symetrická-antisymetrická bilineární forma

  Jestliže k výše uvedenému dále platí \(\forall x,y \in V: f(x,y) = f(y,x))\), pak f je symetrická bilineární forma.

  Jestliže k výše uvedenému dále platí \(\forall x,y \in V: f(x,y) = -f(y,x)\), pak f je antisymetrická bilineární forma.

  Kvadratická forma

  Kvadratickou formou \(g\) rozumíme každé zobrazení, pro které existuje bilineární forma \(f\), splňující podmínku:\(\forall x \in V: f(x,x) = q(x)\)

• Nápověda 1. - Odkud Kam

  V souladu s definicí lineární formy, uvedenou v rozboru úlohy, je nejprve vhodné ověřit, zda-li je \(f:V\times V \to T\). V našem konkrétním případě tedy: \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)

• Nápověda 1. - Odkud Kam - řešení

  Zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x},\vec{y}) = 0 \) je přímo zadané tak, že každé dvojici vektorů \(\vec{x},\vec{y}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) přiřazuje prvek \(0 \in \mathbb{R}\) a tedy nemusíme nic ověřovat a tuto vlastnost vyčíst přímo ze zadání úlohy.

• Nápověda 2. - Linearita zobrazení

  V souladu s definicí nyní ověřme přímým dosazením, jestli zobrazení splňuje všechny podmínky linearity zobrazení:

  1. \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n: f(x+z,y) = f(x,y) + f(z,y)\)
  2. \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n: f(x,y+z) = f(x,y) + f(x,z)\)
  3. \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(ax,y) = af(x,y)\)
  4. \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(x,ay) = af(x,y)\)

• Nápověda 2. - Linearita zobrazení - řešení

  Nejprve ověřme podmínku \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n: f(x+z,y) = f(x,y) + f(z,y)\), kde:

  \[\vec{x} = (x_1, \cdots , x_n)\] \[\vec{y}=(y_1, \cdots, y_n)\] \[\vec{z}=(z_1, \cdots, z_n)\]

  Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n)+(z_1, \cdots, z_n),(y_1, \cdots, y_n)\big)=\] \[=f\big((x_1+z_1, \cdots, x_n + z_n),(y_1, \cdots, y_n)\big)\]

  Všimněme si, že vektor \((x_1+z_1, \cdots, x_n + z_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

  \[\vec{w} = 1\cdot\vec{x} + 1\cdot\vec{z}=(x_1+z_1, \cdots x_n+z_n)\]

  Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1+z_1, \cdots , x_n+z_n),y_1, \cdots y_n)\big)=f(\vec{w},\vec{y})=\]

  kde dle definice zobrazení:

  \[f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{u},\vec{v}) = 0\tag{1}\]

  získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{w},\vec{y})=0\]

  Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=f(\vec{x},\vec{y}) + f(\vec{z},\vec{y})= 0+ 0=0\]

  neboť dle (1) platí, že:

  \[f(\vec{x},\vec{y}) = 0\tag{2}\] \[f(\vec{z},\vec{y}) = 0\tag{3}\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a  a tato podmínka je splněna.

  Nyní stejným způsobem ověřme podmínku \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n: f(x,y+z) = f(x,y) + f(x,z)\):

  Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n),(y_1, \cdots, y_n)+(z_1, \cdots, z_n)\big)=\] \[=f\big((x_1, \cdots, x_n),(y_1+z_1, \cdots, y_n+z_n)\big)\]

  Všimněme si, že vektor \((y_1+z_1, \cdots, y_n + z_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

  \[\vec{w} = 1\cdot\vec{y} + 1\cdot\vec{z}=(y_1+z_1, \cdots y_n+z_n)\]

  Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1 \cdots , x_n),(y_1+z_1, \cdots , y_n+z_n)\big)=f(\vec{x},\vec{w})=\]

  kde dle definice zobrazení (1) získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{x},\vec{w})=0\]

  Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=f(\vec{x},\vec{y}) + f(\vec{x},\vec{z})= 0+ 0=0\]

  neboť dle (1) platí, že:

  \[f(\vec{x},\vec{y}) = 0\tag{4}\] \[f(\vec{x},\vec{z}) = 0\tag{5}\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a tato podmínka je splněna.

  Přikročme nyní k ověření podmínky třetí \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in T: f(ax,y) = af(x,y)\).

  Přímým dosazením do levé strany získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(a\vec{x},\vec{y})=f\big(a(x_1,\cdots,x_n),(y_1\cdots y_n)\big)=\] \[=f\big((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n),(y_1,\cdots ,y_n )\big)\]

  přičemž oznažme:

  \[\vec{w}=a\cdot \vec{x}=(a\cdot x_1,\cdots, a\cdot x_n)\]

  vektor \(\vec{w}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{x}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(\mathbb{R}^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((a(x_1,xcdots,x_n),(y_1 \cdots y_n)\big)=f((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n),y_1, \cdots , y_n)=\] \[=f(\vec{w},\vec{y})=0\]

  Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x},\vec{y})=a\cdot 0=0\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

  Nakonec stejným způsobem ověřme podmínku čtvrtou \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in T: f(x,ay) = af(x,y)\).

  Přímým dosazením do levé strany získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{x},a\vec{y})=f\big((x_1,\cdots,x_n),a(y_1\cdots y_n)\big)=f\big(( x_1,\cdots, x_n),(a\cdot y_1,\cdots ,a \cdot y_n )\big)\]

  přičemž oznažme:

  \[\vec{w}=a\cdot \vec{y}=(a\cdot y_1,\cdots, a\cdot y_n)\]

  vektor \(\vec{w}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{y}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(\mathbb{R}^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big(((x_1,xcdots,x_n),a(y_1 \cdots y_n)\big)=f(( x_1,\cdots, x_n),(a\cdot y_1, \cdots , a\cdot y_n)=\] \[=f(\vec{x},\vec{w})=0\]

  Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x},\vec{y})=a\cdot 0=0\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

  Všechny podmínky, udávající lienaritu obou složek, jsou splněny, čímž je ověřena platnost linearity zobrazení.

• Řešení

  Zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x},\vec{y}) = 0 \) je přímo zadané tak, že každé dvojici vektorů \(\vec{x},\vec{y}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) přiřazuje prvek \(0 \in \mathbb{R}\) a tedy nemusíme nic ověřovat a tuto vlastnost vyčíst přímo ze zadání úlohy.

  Nejprve ověřme podmínku \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n: f(x+z,y) = f(x,y) + f(z,y)\), kde:

  \[\vec{x} = (x_1, \cdots , x_n)\] \[\vec{y}=(y_1, \cdots, y_n)\] \[\vec{z}=(z_1, \cdots, z_n)\]

  Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n)+(z_1, \cdots, z_n),(y_1, \cdots, y_n)\big)=\] \[=f\big((x_1+z_1, \cdots, x_n + z_n),(y_1, \cdots, y_n)\big)\]

  Všimněme si, že vektor \((x_1+z_1, \cdots, x_n + z_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

  \[\vec{w} = 1\cdot\vec{x} + 1\cdot\vec{z}=(x_1+z_1, \cdots x_n+z_n)\]

  Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1+z_1, \cdots , x_n+z_n),y_1, \cdots y_n)\big)=f(\vec{w},\vec{y})=\]

  kde dle definice zobrazení:

  \[f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{u},\vec{v}) = 0\tag{1}\]

  získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{w},\vec{y})=0\]

  Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=f(\vec{x},\vec{y}) + f(\vec{z},\vec{y})= 0+ 0=0\]

  neboť dle (1) platí, že:

  \[f(\vec{x},\vec{y}) = 0\tag{2}\] \[f(\vec{z},\vec{y}) = 0\tag{3}\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a  a tato podmínka je splněna.

  Nyní stejným způsobem ověřme podmínku \(\forall x,y,z \in \mathbb{R}^n: f(x,y+z) = f(x,y) + f(x,z)\):

  Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n),(y_1, \cdots, y_n)+(z_1, \cdots, z_n)\big)=\] \[=f\big((x_1, \cdots, x_n),(y_1+z_1, \cdots, y_n+z_n)\big)\]

  Všimněme si, že vektor \((y_1+z_1, \cdots, y_n + z_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

  \[\vec{w} = 1\cdot\vec{y} + 1\cdot\vec{z}=(y_1+z_1, \cdots y_n+z_n)\]

  Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1 \cdots , x_n),(y_1+z_1, \cdots , y_n+z_n)\big)=f(\vec{x},\vec{w})=\]

  kde dle definice zobrazení (1) získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{x},\vec{w})=0\]

  Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=f(\vec{x},\vec{y}) + f(\vec{x},\vec{z})= 0+ 0=0\]

  neboť dle (1) platí, že:

  \[f(\vec{x},\vec{y}) = 0\tag{4}\] \[f(\vec{x},\vec{z}) = 0\tag{5}\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a  a tato podmínka je splněna.

  Přikročme nyní k ověření podmínky třetí \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in T: f(ax,y) = af(x,y)\).

  Přímým dosazením do levé strany získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(a\vec{x},\vec{y})=f\big(a(x_1,\cdots,x_n),(y_1\cdots y_n)\big)=\] \[=f\big((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n),(y_1,\cdots ,y_n )\big)\]

  přičemž oznažme:

  \[\vec{w}=a\cdot \vec{x}=(a\cdot x_1,\cdots, a\cdot x_n)\]

  vektor \(\vec{w}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{x}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(\mathbb{R}^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((a(x_1,xcdots,x_n),(y_1 \cdots y_n)\big)=f((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n),y_1, \cdots , y_n)=\] \[=f(\vec{w},\vec{y})=0\]

  Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x},\vec{y})=a\cdot 0=0\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

  Nakonec stejným způsobem ověřme podmínku čtvrtou \(\forall x,y \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in T: f(x,ay) = af(x,y)\).

  Přímým dosazením do levé strany získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{x},a\vec{y})=f\big((x_1,\cdots,x_n),a(y_1\cdots y_n)\big)=\] \[=f\big(( x_1,\cdots, x_n),(a\cdot y_1,\cdots ,a \cdot y_n )\big)\]

  přičemž oznažme:

  \[\vec{w}=a\cdot \vec{y}=(a\cdot y_1,\cdots, a\cdot y_n)\]

  vektor \(\vec{w}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{y}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(\mathbb{R}^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big(((x_1,xcdots,x_n),a(y_1 \cdots y_n)\big)=f(( x_1,\cdots, x_n),(a\cdot y_1, \cdots , a\cdot y_n)=\] \[=f(\vec{x},\vec{w})=0\]

  Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x},\vec{y})=a\cdot 0=0\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

  Všechny podmínky, udávající lienaritu obou složek, jsou splněny, čímž je ověřena platnost linearity zobrazení.

  Zobrazení f je bilineární forma, protože splňuje veškeré podmínky spojené s definicí.

• Poznámka o nulové bilineární formě

  Zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}; \,\,\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x},\vec{y}) = 0 \) zveme nulovou bilineární formou na prostoru \(\mathbb{R}^n\).