Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu I.

Úloha číslo: 1377

Homomorfismus \(f:\,\mathbb{Z}_5^4 \longrightarrow \mathbb{Z}_5^3\) je dán předpisem

\[ f(x,y,z,w) = (2x+3z+w,4x+y+2z,3x+2y+z+4w). \]
  1. Najděte matici homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi a bázi \(M = \big\{(1{,}1,0),(3{,}0,0),(0{,}3,4)\big\}.\)

  2. Najděte matici homomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M^\prime = \big\{(1{,}4,1{,}1),(2{,}4,1{,}0),(3{,}2,1{,}1),(4{,}0,2{,}1)\big\}\) a kanonické bázi.

  • Rozbor

    Nalezení matice homomorfismu znamená dle definice ve stručnosti:

    • Zobrazit vektory první báze prostoru.
    • Vyjádřit tyto obrazy jako lineární kombinaci vektorů druhé báze.
    • Koeficienty lineárních kombinací zapsat do matice.

    Úloha s představením teoretického základu Matice homomorfismu.

  • 1. Nápověda – matice vzhledem ke k.b. a bázi M

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů kanonické báze. Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\). Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • 2. Nápověda – matice vzhledem k bázi M a k.b.

    Opět postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi?. Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • Odpověď

    1. Matice homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi a bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 3&2&0&2\\ 3&1&1&3\\ 2&3&4&1\\ \end{pmatrix} \]
    2. Matice homomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M^\prime\) a kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 1&2&0&0\\ 0&4&1&0\\ 1&0&3&3\\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze