Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu I.

Úloha číslo: 1377

• Rozbor

  Nalezení matice homomorfismu znamená dle definice ve stručnosti:

  • Zobrazit vektory první báze prostoru.
  • Vyjádřit tyto obrazy jako lineární kombinaci vektorů druhé báze.
  • Koeficienty lineárních kombinací zapsat do matice.

  Úloha s představením teoretického základu Matice homomorfismu.

• 1. Nápověda – matice vzhledem ke k.b. a bázi M

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů kanonické báze. Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\). Souřadnice zapište správně do matice.

  Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

• 1. Řešení nápovědy – matice vzhledem ke k.b. a bázi M

  Nalezněme obrazy vektorů kanonické báze prostoru \(\mathbb{Z}_5^4\). \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } f(x,y,z,w) = (2x+3z+w,4x+y+2z,3x+2y+z+4w)} \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0{,}0)&=&(2{,}4,3)\\ f(0{,}1,0{,}0)&=&(0{,}1,2)\\ f(0{,}0,1{,}0)&=&(3{,}2,1)\\ f(0{,}0,0{,}1)&=&(1{,}0,4)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\) označíme následovně. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(2{,}4,3)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_1,b_1,c_1)\\ \big\langle(0{,}1,2)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_2,b_2,c_2)\\ \big\langle(3{,}2,1)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_3,b_3,c_3)\\ \big\langle(1{,}0,4)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_4,b_4,c_4)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(M\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(M\) dávající příslušné obrazy. \[ \begin{eqnarray} (2{,}4,3) = a_1 (1{,}1,0) + b_1 (3{,}0,0) + c_1 (0{,}3,4)\\ (0{,}1,2) = a_2 (1{,}1,0) + b_2 (3{,}0,0) + c_2 (0{,}3,4)\\ (3{,}2,1) = a_3 (1{,}1,0) + b_3 (3{,}0,0) + c_3 (0{,}3,4)\\ (1{,}0,4) = a_4 (1{,}1,0) + b_4 (3{,}0,0) + c_4 (0{,}3,4)\\ \end{eqnarray} \]

  Souřadnice \(a_i, b_i, c_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.

  \[ \begin{equation} \left.\begin{aligned} &(2{,}4,3) \\ &(0{,}1,2) \\ &(3{,}2,1) \\ &(1{,}0,4) \\ \end{aligned}\right\} = a_i (1{,}1,0) + b_i (3{,}0,0) + c_i (0{,}3,4) \end{equation} \] Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice. \[ \begin{array}{rrrrrrr} a_i & + & 3b_i & & & = &2 \,|\, 0 \,|\, 3 \,|\, 1 & \qquad \mathrm{(1)} \\ a_i & & & + & 3c_i & = &4 \,|\, 1 \,|\, 2 \,|\, 0& \qquad \mathrm{(2)} \\ & & & & 4c_i & = &3 \,|\, 2 \,|\, 1 \,|\, 4 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \]

  Rovnici s \(i\)-tými indexy jako pravá strana náleží \(i\)-tý „chlíveček“.

  Tuto soustavu snadno vyřešíme. Z (3) přímo plyne \[ c_i = 4(3\,|\,2\,|\,1\,|\,4) = 2\,|\,3\,|\,4\,|\,1. \] Z rovnice (2) vyjádříme \(a_i\) a dosadíme vypočítané \(c_i\) \[ a_i = 2c_i + 4\,|\,1\,|\,2\,|\,0 = 3\,|\,2\,|\,0\,|\,2. \] Z rovnice (1) vyjádříme \(b_i\) a dosadíme vypočítané \(a_i\) \[ b_i = 2(4a_i + 2\,|\,0\,|\,3\,|\,1) = 3\,|\,1\,|\,1\,|\,3. \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi a bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 3&2&0&2\\ 3&1&1&3\\ 2&3&4&1\\ \end{pmatrix}. \]

• 2. Nápověda – matice vzhledem k bázi M a k.b.

  Opět postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi?. Souřadnice zapište správně do matice.

  Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

• 2. Řešení nápovědy – matice vzhledem k bázi M a k.b.

  Nalezněme obrazy vektorů báze \(M^\prime\). \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } f(x,y,z,w)=(2x+3z+w,4x+y+2z,3x+2y+z+4w)} \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}4,1{,}1)&=&(1{,}0,1)\\ f(2{,}4,1{,}0)&=&(2{,}4,0)\\ f(3{,}2,1{,}1)&=&(0{,}1,3)\\ f(4{,}0,2{,}1)&=&(0{,}0,3)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi jsou přímo složky vektorů. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(1{,}0,1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(1{,}0,1)\\ \big\langle(2{,}4,0)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(2{,}4,0)\\ \big\langle(0{,}1,3)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(0{,}1,3)\\ \big\langle(0{,}0,3)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(0{,}0,3)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice jednotlivých vektorů poklademe do sloupců matice \[ B= \begin{pmatrix} 1&2&0&0\\ 0&4&1&0\\ 1&0&3&3\\ \end{pmatrix}. \] Matice \(B\) je maticí homomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M^\prime\) a kanonické bázi.

• Odpověď

  1. Matice homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi a bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 3&2&0&2\\ 3&1&1&3\\ 2&3&4&1\\ \end{pmatrix} \]
  2. Matice homomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M^\prime\) a kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 1&2&0&0\\ 0&4&1&0\\ 1&0&3&3\\ \end{pmatrix}. \]