Nalezněme obrazy vektorů báze \(M\).
\[
\color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } f(x,y,z)=(2x+y+z,x+y,z,x+2y+2z)}
\]
\[
\begin{eqnarray}
f(1{,}1,2)&=&(2{,}2,2{,}1)\\
f(1{,}2,1)&=&(2{,}0,1{,}1)\\
f(2{,}1,1)&=&(0{,}0,1{,}0)\\
\end{eqnarray}
\]
Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\) označíme následovně.
\[
\begin{eqnarray}
\big\langle(2{,}2,2{,}1)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_1,b_1,c_1)\\
\big\langle(2{,}0,1{,}1)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_2,b_2,c_2)\\
\big\langle(0{,}0,1{,}0)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_3,b_3,c_3)\\
\end{eqnarray}
\]
Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(N\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(N\) dávající příslušné obrazy.
\[
\begin{eqnarray}
(2{,}2,2{,}1) = a_1 (1{,}1,1{,}0) + b_1 (1{,}1,0{,}1) + c_1 (1{,}1,0{,}1) + d_1(1{,}1,1{,}1) \\
(2{,}0,1{,}1) = a_2 (1{,}1,1{,}0) + b_2 (1{,}1,0{,}1) + c_2 (1{,}1,0{,}1) + d_2(1{,}1,1{,}1) \\
(0{,}0,1{,}0) = a_3 (1{,}1,1{,}0) + b_3 (1{,}1,0{,}1) + c_3 (1{,}1,0{,}1) + d_3(1{,}1,1{,}1) \\
\end{eqnarray}
\]
Souřadnice \(a_i,b_i,c_i,d_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.
\[
\begin{equation}
\left.\begin{aligned}
&(2{,}2,2{,}1)\\
&(2{,}0,1{,}1)\\
&(0{,}0,1{,}0)\\
\end{aligned}\right\} = a_i (1{,}1,1{,}0) + b_i (1{,}1,0{,}1) + c_i (1{,}0,1{,}1) + d_i(1{,}1,1{,}1)
\end{equation}
\]
Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice.
\[
\begin{array}{rrrrrrrrr}
a_i & + & b_i & + & c_i & + & d_i & = &2 \,|\, 2 \,|\, 0& \\
a_i & + & b_i & & & + & d_i & = &2 \,|\, 0 \,|\, 0& \\
a_i & & & + & c_i & + & d_i & = &2 \,|\, 1 \,|\, 1& \\
& & b_i & + & c_i & + & d_i & = &1 \,|\, 1 \,|\, 0& \\
\end{array}
\]
Rovnici s \(i\)-tými indexy náleží jako pravá strana \(i\)-tý „chlíveček“.
Tuto soustavu můžeme vyřešit například užitím matice.
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \,|\, 2 \,|\, 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 2 \,|\, 0 \,|\, 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 2 \,|\, 1 \,|\, 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \,|\, 1 \,|\, 0 \\
\end{array}
\right)
\begin{array}{l}
\phantom{I}\\
II+2III\\
III+2I\\
\phantom{IV}\\
\end{array}
\sim
\]
\[
\sim
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \,|\, 2 \,|\, 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 0 \,|\, 2 \,|\, 2 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \,|\, 2 \,|\, 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \,|\, 1 \,|\, 0 \\
\end{array}
\right)
\begin{array}{l}
\phantom{I}\\
\phantom{II}\\
III+II\\
IV+III\\
\end{array}
\sim
\]
\[
\sim
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \,|\, 2 \,|\, 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 0 \,|\, 2 \,|\, 2 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \,|\, 1 \,|\, 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \,|\, 0 \,|\, 1 \\
\end{array}
\right)
\begin{array}{l}
\phantom{I}\\
\phantom{II}\\
\phantom{III}\\
IV + III\\
\end{array}
\sim
\]
\[
\sim
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \,|\, 2 \,|\, 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 0 \,|\, 2 \,|\, 2 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \,|\, 1 \,|\, 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \,|\, 1 \,|\, 1 \\
\end{array}
\right)
\begin{array}{l}
\phantom{I}\\
\phantom{II}\\
\phantom{III}\\
\phantom{VII+0II}\\
\end{array}
\]
Z odstupňovaného tvaru snadno dopočítáme řešení.
\[
\begin{array}{rclccl}
&&&\quad\Rightarrow\quad & d_i = 1 \,|\, 1 \,|\, 1 \\
2c_i& = & 0 \,|\, 1 \,|\, 0 & \quad\Rightarrow\quad & c_i = 0 \,|\, 2 \,|\, 0 \\
b_i& = & c_i + 0 \,|\, 2 \,|\, 2 & \quad\Rightarrow\quad & b_i = 0 \,|\, 1 \,|\, 2 \\
a_i& = & 2b_i + 2c_i + 2_di + 2 \,|\, 2 \,|\, 0 & \quad\Rightarrow\quad & a_i = 1 \,|\, 1 \,|\, 0 \\
\end{array}
\]
Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice homomorfismu dle uvedené definice.
Matice homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M,N\) je
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
d_1 & d_2 & d_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1&0\\
0&1&2\\
0&2&0\\
1&1&1\\
\end{pmatrix}.
\]
