Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu

Úloha číslo: 1376

Následující definice se týká prostorů konečné dimenze, báze jsou uspořádané.
(i) Matice homomorfismu

Nechť \(V,W\) jsou vektorové prostory nad polem \(T\) a \(f\) je homomorfismus \(f:\,V\rightarrow W\). Nechť \(N=\{w_1,w_2,\dots,w_n\}\) je báze prostoru \(W\) a \(M = \{v_1,v_2,\dots,v_m\}\) báze prostoru \(V\).

\[ \begin{array}{ccc} ~&f~~&~\\ W & \longleftarrow---- & V\\ ^{N=\{w_1,w_2,\dots,w_n\}} & \color{maroon}{A_{n\times m}} & ^{M = \{v_1,v_2,\dots,v_m\}} \\ \end{array} \]

Nyní nalezneme obrazy vektorů báze \(M\) vektorového prostoru \(V\). Tyto obrazy vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů báze \(N\) prostoru \(W\). Tj.

\[ \begin{array}{c} v_1 \longrightarrow f(v_1) = \sum_{i=1}^n a_{i_1}w_i \quad\Longleftrightarrow\quad\big\langle f(v_1) \big\rangle_\mathrm{N} = \big(a_{11},a_{21},\dots,a_{n1}\big) \\ \vdots\hspace{5em}\vdots \hspace{5em} \vdots \hspace{5em} \vdots \hspace{5em} \vdots \\ v_j \longrightarrow f(v_j) = \sum_{i=1}^n a_{i_j}w_i \quad\Longleftrightarrow\quad\big\langle f(v_j) \big\rangle_\mathrm{N} = \big(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj}\big) \\ \vdots\hspace{5em}\vdots \hspace{5em} \vdots \hspace{5em} \vdots \hspace{5em} \vdots \\ v_m \longrightarrow f(v_m) = \sum_{i=1}^n a_{i_m}w_i \quad\Longleftrightarrow\quad\big\langle f(v_m) \big\rangle_\mathrm{N} = \big(a_{1m},a_{2m},\dots,a_{mj}\big). \\ \end{array} \] Souřadnice pak zapíšeme do matice následovně \[ \color{maroon}{A_{n\times m}}= \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1m} & \\ a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2m} & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nm} & \\ \end{pmatrix}. \] Matici \(\color{maroon}{A_{n\times m}}\) nazveme maticí homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M,N\).

Úkol:

Homomorfismus \(f:\,\mathbb{Z}_3^3 \longrightarrow \mathbb{Z}_3^4\) je dán předpisem

\[ f(x,y,z) = (2x+y+z,x+y,z,x+2y+2z). \]
  1. Najděte matici homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \[M = \big\{(1{,}1,2),(1{,}2,1),(2{,}1,1)\big\},\] \[N = \big\{(1{,}1,1{,}0),(1{,}1,0{,}1),(1{,}0,1{,}1),(1{,}1,1{,}1)\big\}.\]
  2. Najděte matici homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonickým bázím.
  • Rozbor

    Nalezení matice homomorfismu znamená dle definice ve stručnosti:
    • Zobrazit vektory první báze prostoru.
    • Vyjádřit tyto obrazy jako lineární kombinaci vektorů druhé báze.
    • Koeficienty lineárních kombinací zapsat do matice.
  • 1. Nápověda – matice vzhledem k bázím M,N

    Postupujte podle definice matice homomorfismu uvedené v zadání úlohy. Tedy nejprve zobrazte vektory báze \(M\), poté nalezněte jejich souřadnice vzhledem k bázi \(N\). Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • 2. Nápověda – matice vzhledem ke kanonickým bázím

    Opět postupujte podle definice matice homomorfismu uvedené v zadání úlohy. Tedy nejprve zobrazte vektory báze kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • Odpověď

    1. Matice homomorfismu \(f\) vzhledem k udaným bázím \(M,N\) je \[ A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&2\\ 0&2&0\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix}. \]
    2. Matice homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonickým bázím je \[ B=\begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&1&0\\ 0&0&1\\ 1&2&2\\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze