Sbírka řešených úloh

Základní pojmy vysokoškolské matematiky

Úloha číslo: 1302

• Rozbor

  Jednou z největších komplikací při studiu matematiky bývá nezvyklost na jazyk vysokoškolské matematiky jako takový. Právě pro usnadnění osvojování si základů tohoto univerzálního jazyka je určena tato úloha, v níž si ukážeme a vysvětlíme význam nejčastěji užívaných symbolů a pojmů.

  Jako příklad uveďme definici pojmu vlastní limity posloupnosti.

  (i) Vlastní limita posloupnosti

  Nechť \(A \in \mathbb{R}\) a \( \left \{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty}\) je posloupnost reálných čísel, pak

  \(A={\lim}_{n\to \infty} a_n\), jestliže platí:

  \[\forall \varepsilon \gt 0,~~ \exists n_0 \in \mathbb{N}:~~ \forall n \gt n_0:\qquad |a_n-a_{n_0}|\lt\varepsilon .\]

  Volný překlad:

  Nechť \(A\) je konečné reálné číslo a nechť \(\left \{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty}\) je posloupnost reálných čísel pro \(n\) přirozené jdoucí od jedné do nekonečna. Pak řekneme, že \(A\) je limitou posloupnosti \(\left \{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty}\), jestliže platí, že pro každé kladné epsilon existuje takový člen posloupnosti s přirozeným indexem \(n_0\), že pro každý další přirozený člen posloupnosti s indexem \(n\) platí, že vzdálenost členu s indexem \(n\) od členu s indexem \(n_0\)je ostře menší než epsilon.

  Univerzálnost jazyka matematiky, stejně jako volnost jeho překladu a úspora místa, jsou patrné na první pohled. Ačkoliv je pravda, že text můžeme vykládat řadou způsobů, jeho význam zůstane nezměněn!

• Kvantifikátory

  Kvantikátory rozumíme symboly \(\forall,\ \exists\) (případně \(\exists !\)).

  S jejich pomocí obvykle popisujeme četnost výskytu dané vlastnosti prvků zkoumaného souboru (množiny – viz další část této úlohy).

  V našem demonstračním příkladu budeme tímto souborem rozumět obrázek lesa, jehož prvky jsou tráva, ježek, hřib, strom, keř a slunce.

  • Symbolem \(\forall\) značíme obecný (též univerzální) kvantifikátor, s jehož pomocí přiřazujeme určitou vlastnost všem prvkům zkoumaného souboru.
    Čteme „pro všechny“.

    Př: můžeme říci, že: „Všechny objekty na obrázku jsou černo-bílé.“

  • Symbolem \(\exists\) značíme existenční kvantifikátor, s jehož pomocí vyjadřujeme existenci alespoň jednoho prvku, který má zkoumanou vlastnost. Čteme „existuje“.

    Př: můžeme říci, že: „Na obrázku se nachází (existuje) trs trávy.“

  • Přidáme-li k symbolu existenčního kvantifikátoru vykřičník, \(\exists! \), získáme jeho speciálním případ. S jeho pomocí říkáme, že existuje právě jeden prvek souboru zkoumané vlastnosti (neexistuje žádný další). Čteme „existuje právě jeden“.

    Př: můžeme říci, že: „Na obrázku je nakresleno (existuje) právě jedno zvíře.“

  

  Poznámka: zdroj obrázku uveden v hlavičce úlohy pod heslem les2.jpg[1]

• Výroky a výroková logika

  Jednoduchým výrokem \(V\) rozumíme tvrzení nabývající právě jednu z pravdivostních hodnot – pravda, nepravda.

  Př: \(V\): „Banán je zelenina.“ – nepravda

  Negací výroku \(V\) rozumíme výrok s opačnou pravdivostní hodnotou výroku \(V\), značíme \(V^\prime\) nebo \(\neg V\).

  Př: \(\neg V\): „Banán není zelenina.“ – pravda

  Kvantifikovaným výrokem \(K\) rozumíme tvrzení s určitou pravdivostní hodnotou obsahující kvantifikátor.

  Př: \(K\): „Všechny banány jsou modré.“ – nepravda

  Složeným výrokem rozumíme tvrzení složené z jednoduchých výroků \(V, W\) pomocí logických spojek (viz níže). I jemu můžeme přiřadit pravdivostní hodnotu:

  Př: \(V\) nebo \(W\): „Banán je zelenina nebo je ovoce.“ – pravda

  ---

  Logickými spojkami rozumíme spojky a, nebo, pak, právě tehdy když značené symboly \(\wedge,\,\vee,\,\Rightarrow,\,\Leftrightarrow\). Viz přehled

  \[ \begin{array}{llll} \mathrm{~} & \mathrm{Znak} & \mathrm{Název} & \mathrm{Čteme} \\ \mathrm{1.}& \wedge & \mathrm{konjunkce} & \mathrm{a} \\ \mathrm{2.}& \vee & \mathrm{disjunkce} & \mathrm{nebo} \\ \mathrm{3.}& \Rightarrow & \mathrm{implikace} & \mathrm{pak} \\ \mathrm{4.}& \Leftrightarrow & \mathrm{ekvivalence} & \mathrm{právě\ tehdy,\ když} \\ \end{array} \]

  1. \(\wedge\) Konjunkce (a)

     Konjunkce výroků \(V, W\) je složený výrok pravdivý pouze v případě, že oba výroky \(V, W\) jsou pravdivé.

     Př:

     \(V\): „Pomeranč je ovoce.“ – pravda

     \(W\): „Okurka je zelenina.“ – pravda

     \(V\wedge V\): „Pomeranč je ovoce a okurka je zelenina“ – pravda

  2. \(\vee\) Disjunkce (nebo)

     Disjunkce výroků \(V, W\) je složený výrok pravdivý v případě, že alespoň jeden z výroků \(V, W\) je pravdivý.

     Př:

     \(V\): „Jablko je červené.“ – pravda

     \(W\): „Okurka je modrá.“ – nepravda

     \(V\vee W\): „Jablko je červené nebo je okurka modrá“ – pravda

  3. \(\Rightarrow\) Implikace (pak)

     Implikace výroků \(V\) a \(W\), kde \(V\) rozumíme předpokladem a \(W\) závěrem, je složený výrok pravdivý vždy, vyjma případu, kdy je pravdivý předpoklad a nepravdivý závěr.

     Př:

     \(V\): „Jablko je červené.“ – pravda

     \(W\): „Okurka je modrá.“ – nepravda

     \(V\Rightarrow W\): „Jestliže je jablko červené, pak je okurka modrá nebo je okurka modrá“ – nepravda

  4. \(\Leftrightarrow\) Ekvivalence (právě tehdy když)

     Ekvivalence výroků \(V, W\) je složený výrok pravdivý v případě, že výroky \(V, W\) mají stejnou pravdivostní hodnotu, tj. oba jsou pravdivé nebo jsou oba nepravdivé.

     Př:

     \(V\): „Jablko je červené.“ – pravda

     \(W\): „Okurka je zelená.“ – pravda

     \(V\Leftrightarrow W\): „Jablko je červené, právě tehdy když je okurka zelená“ – pravda

• Množiny a množinové operace

  Množinou \(M\) rozumíme soubor prvků \(x\) dané vlastnosti.

  Množina \(M\) je jednoznačně určena výčtem prvků, kdy nezáleží na jejich četnosti ani pořadí. Pro každé \(x\) vždy nastává právě jedna z možností

  \[ \begin{array}{lll} \circ & x\in M & \mathrm{čteme:\ }x\mathrm{\ je\ prvkem\ }M, \\ \circ & x\notin M & \mathrm{čteme:\ }x\mathrm{\ není\ prvkem\ }M. \\ \end{array} \]

  Množinu \(M\) můžeme zapsat

  • výčtem prvků – například \(M=\big\{1,\,2,\,3 \big\}\),
  • pomocí společné vlastnosti – \(M=\big\{x;\ x\in \mathbb{N}: (x \lt 4) \wedge (x \gt 0) \big\},\)

    \(M\) je soubor prvků \(x\) takových, že \(x\) jsou přirozená čísla pro která platí, že jsou ostře menší než \(4\) a ostře větší než \(0\).

  Množinu \(X\), která neobsahuje žádný prvek, nazýváme prázdnou množinou, značíme \(X = \varnothing\), nebo \(X = \{~\}\).

  Množinové operace

  Množinovými operacemi na množinách \(A,B,C\) budeme rozumět operace:

  1. \(A\cap B\) (\(A\) průnik \(B\))

     Průnik množin \(A, B\) je množina obsahující prvky ležící v množině \(A\) a zároveň ležící v množině \(B\).

  2. \(A\cup B\) (\(A\) sjednocení \(B\))

     Sjednocení množin \(A, B\) je množina obsahující všechny prvky množiny \(A\) i všechny prvky množiny \(B\).

  3. \(A\subset B\) (\(A\) podmnožina \(B\))

  \(A\) podmnožina \(B\) znamená, že pro každý prvek \(A\) platí, že je i prvkem množiny \(B\) (nic to neříká o prvcích B!)

  4. \(A\subset B\) – (\(B\) podmnožina \(A\))

     analogie výše, ale obráceně.

  5. \(A\setminus B\) – (\(A\) rozdíl \(B\))

     \(A\) rozdíl \(B\) je množina prvků \(A\), které leží v \(A\) a neleží v \(B\).

  Př:

  Nechť \(A=\big\{1,\,2,\,3 \big\}\) a \(B=\big\{2,\,3,\,4 \big\}\), určete \(C\), pro kterou platí

  1. \(C=A∩B\),
  2. \(C=A∪B\),
  3. \(C=A\setminus B\),
  4. \(C=B\setminus A\).

  Řešení

  1. \(C=\big\{2,\,3 \big\}\),

  2. \(C=\big\{1,\,2,\,3,\,4 \big\}\),

  3. \(C=\big\{1 \big\}\),

  4. \(C=\big\{4 \big\}\).

• Číselné obory

  Číselnými obory rozumíme následující množiny.

  • \(\mathbb{N}\) ... Přirozená čísla
  • \(\mathbb{Z}\) ... Celá čísla
  • \(\mathbb{Q}\) ... Racionální čísla
  • \(\mathbb{R}\) ... Reálná čísla
  • \(\mathbb{C}\) ... Komplexní čísla

  V teorii binárních operací a algebraických struktur budou ukázány vlastnosti jednotlivých číselných oborů.

• Kartézský součin, relace, zobrazení

  (ii) Kartézský součin množin

  Kartézským součinem \(A \times B\) množin \(A,B\) rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic \((a, b)\), přičemž \(a\) je prvkem \(A\) a \(b\) je prvkem \(B\).

  \[ A\times B = \big\{(a,b);\ a\in A,\,b\in B \big\}. \]

  Příklad: Nechť \(A=\big\{1,\,2\big\}\) a \(B=\big\{2,\,3\big\}\). Kartézským součinem množin \(A,B\) je množina \(C= A\times B = \big\{ (1{,}2),\,(1{,}3),\,(2{,}2),\,(2{,}3) \big\}\).

  (iii) Relace

  Relací \(R\) rozumíme libovolnou podmnožinu kartézskéhu součinu.

  Příklad: Využijeme kartézského součinu z příkladu výše. Relací \(R\) může být například jeho podmnožina \(R=\big\{ (1{,}2),\,(1{,}3),\,(2{,}3) \big\}.\)

  Tuto relaci můžeme také definovat tímto způsobem

  \[R \subset \left( A \times B\right):\quad (a,b)\in R \qquad \Leftrightarrow \qquad a \lt b. \]

  Zápis lze chápat takto: \(R\) je relace na množinách \(A,B\) taková, že \(a\) je v relaci \(R\) s \(b\), právě tehdy, když je \(a\) ostře menší než \(b\).

  Poznámka: Relací \(R\) na množině \(M\) rozumíme \(R \subset (M \times M)\).

  (iv) Vlastnosti binární relace

  Nechť \(R \subset (A\times A) = A^2,\) pak \(R\) je \[ \begin{array}{llcl} \mathrm{1.} & \mathrm{reflexivní} & \Leftrightarrow & \forall x\in A:~(x,x)\in R,\\ \mathrm{2.} & \mathrm{symetrická} & \Leftrightarrow & \forall x,y\in A:~(x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\in R,\\ \mathrm{3.} & \mathrm{antisymetrická} \hspace{-1em}& \Leftrightarrow & \forall x,y \in A:~(x,y),(y,x)\in R \Rightarrow x=y,\\ \mathrm{4.} & \mathrm{tranzitivní} & \Leftrightarrow & \forall x,y,z\in A:~(x,y),(y,z)\in R \ \Rightarrow\ (x,z)\in R. \\ \end{array} \]

  Příklad: Určeme vlastnosti již uvedené relace \(R\) v předchozím příkladě. Relace \(R\) není reflexivní, ani symetrická (ostrá nerovnost to nepřipouští), je ale antisymetrická.

  (v) Zobrazení

  Zobrazením \(f\) z množiny \(A = \{a_i\}_{i\in\Lambda_1}\) do množiny \(B=\{b_i\}_{i\in\Lambda_2}\) – značíme \(f:\,A\rightarrow B\), rozumíme relaci na \(A,B\) pro kterou platí

  \[f(a_0)=b_1 \wedge f(a_0)=b_2 \quad\Rightarrow\quad b_1=b_2.\]

  • Definičním oborem zobrazení \(f\) rozumíme množinu \(D_f=\big\{x \in A;\ \exists y\in B:\ f(x)=y \big\}\)

  • Oborem hodnot zobrazení \(f\) rozumíme množinu \(H_f=\big\{y \in B;\ \exists x\in A:\ f(x)=y \big\}\)

  Říkáme, že \(f\) je

  • Prosté (injektivní), jestliže \(f(x)=f(y)\ \Rightarrow\ x=y\quad \forall x,y \in D_f\),
  • Na (surjektivní), jestliže \(\forall y \in B\quad \exists x\in D_f:\quad f(x)=y, \)
  • Vzájemně jednoznačné (bijektivní), jestliže je prosté a zároveň na.

• Matematické věty, tvrzení, lemmata a definice

  Matematika je dle vzoru Eukleidových Základů vybudována axiomaticky, to jest na výchozích vzájemně nezávislých tvrzeních – axiomech. Nový pojem zavádíme definicí.

  Matematickou větou je tvrzení (výrok), které obsahuje pro teorii důležitou myšlenku. Matematickou větu zpravidla dokazujeme.

  Tvrzením rozumíme slabší větu – tedy neobsahuje tak přínosné informace pro teorii.

  Lemmatem rozumíme pomocnou větu – tvrzení užívané k důkazu jiné matematické věty.

  ---

  Stavba matematické věty:

  Matematická věta obvykle začíná předpoklady, které potřebujeme pro následné vyvození závěru, tj. matematická věta má obvykle tvar implikace. Pro ilustraci uveďme příklad matematické věty.

  (vi) Věta „o dvou policajtech“

  Nechť \(A \in \mathbb{R}\) a \(\left\{a_n \right\}_{n=1}^{\infty}, \left\{b_n \right\}_{n=1}^{\infty}, \left\{c_n \right\}_{n=1}^{\infty}\) jsou posloupnosti reálných čísel a nechť existuje takové \(n_0 \in \mathbb{N}\), že pro každé další větší \(n\in\mathbb{N}\) platí: \[a_n \leqq c_n \leqq b_n \qquad\mathrm{a}\qquad \lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n=A,\] pak \[\qquad\lim_{n \to \infty}c_n=A.\]

  Vidíte, že předpoklady věty jsou odděleny od závěru (obsaženého tvrzení) logickou spojkou pak.

• Základní důkazové metody a jak na ně:

  Důkazem matematického tvrzení rozumíme logickou posloupnost kroků, která vede k prokázání platnosti daného tvrzení. Rozlišujeme

  • Důkaz přímý: řetězec logicky správných implikací vedoucí od předpokladu k závěru – tzv. krokovací metoda, často vycházíme z již dokázaných tvrzení či teorie.
  • Důkaz sporem: tvrzení negujeme a snažíme se dokázat, že negace neplatí – tj. platí původní tvrzení.
  • Důkaz matematickou indukcí: zde vycházíme přímo z Peanových axiomů, týkajících se budování přirozených čísel. Jinými slovy, dokazujeme platnost vlastnosti pro první prvek množiny a následně se pomocí indukčního předpokladu, tj. platnosti tvrzení pro \(n\)-tý prvek množiny, snažíme prokázat platnost tohoto tvrzení i pro \(n+1.\) prvek množiny.

• Sčítací a násobící suma

  Velmi užitečným pomocníkem se v zápisech jeví

  • sčítací suma \(\sum_{k=1}^n x_k\)

    \[\sum_{k=1}^n x_k = x_1+x_2+\ldots +x_n,\]

  • produkt (násobící suma) \(\prod_{i=1}^n x_i \)

    \[\prod_{i=1}^n x_i = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n.\]