Sbírka řešených úloh

Podprostor vektorového prostoru I.

Úloha číslo: 1360

• Rozbor

  Chceme-li zjistit, zda-li je daná podmnožina podprostorem vektorového prostoru, je třeba ověřit vlastnosti (i) až (iii) obsažené v definici podprostoru.

• Nápověda 1 – neprázdnost množiny

  Ověřte, je-li množina neprázdná. Měla by obsahovat alespoň nulový vektor.

• Řešení nápovědy 1 – neprázdnost množiny

  Množina \(W\) je evidentně neprázdná. Např. pro \[s = 0 \quad\wedge\quad t = 0\] dostáváme nulový vektor \(o = \left(0{,}0,0\right)\).

• Nápověda 2 – uzavřenost vůči sčítání vektorů

  Ověřte, je-li součet libovolných dvou vektorů množiny \(W\) opět jejím prvkem.

• Řešení nápovědy 2 – uzavřenost vůči sčítání vektorů

  Ukážeme, že součet libovolných vektorů množiny \(W\) dává vektor téže množiny.

  Nechť \(u,v \in W\) \[u = \left(5s_1-t_1,\,2s_1+t_1,\,s_1+3t_1\right),\quad s_1,t_1 \in \mathbb{R},\] \[v = \left(5s_2-t_2,\,2s_2+t_2,\,s_2+3t_2\right),\quad s_2,t_2 \in \mathbb{R}.\] Provedeme součet vektorů \(u,v\). \[u + v = \big(5s_1-t_1,\,2s_1+t_1,\,s_1+3t_1\big) + \big(5s_2-t_2,\,2s_2+t_2,\,s_2+3t_2\big)=\] \[=\bigg(5(s_1 + s_2) - (t_1 + t_2),\,2(s_1 + s_2) + (t_1 + t_2),\,(s_1+s_2) + 3(t_1+t_2) \bigg)\] Označme \(s = s_1 + s_2\) a \(t = t_1 + t_2\). Vektor tak bude mít složky \[ \begin{eqnarray} u + v = &\left(5s - t,\,2s + t,\, s + 3t\right)&\in W.\\ \mathrm{Porovnejme~s\quad}\color{grey}{W =} &\color{grey}{\lbrace\left(5s-t,\,2s+t,\,s+3t\right)}&\color{grey}{;\,s,t\in\mathbb{R}\rbrace}.\\ \end{eqnarray} \] Je-li \(s_1,s_2,t_1,t_2\in\mathbb{R}\), pak i \(s = (s_1 + s_2) \in \mathbb{R}\) a \(t = (t_1 + t_2) \in \mathbb{R}\).

  Tvar předpisů pro složky výsledného vektoru \((u+v)\) odpovídá předpisu složek vektorů množiny \(W\). Množina je uzavřená vůči sčítání vektorů.

• Nápověda 3 – uzavřenost na vzití násobku

  Ověřte, zda-li libovolný násobek prvku množiny \(W\) je opět prvkem této množiny. Prvky množiny \(W\) se násobí prvky pole, v našem případě reálnými čísly.

• Řešení nápověda 3 – uzavřenost na vzití násobku

  Ukážeme, že součin libovolného vektoru množiny \(W\) a prvku pole reálných čísel dává opět vektor množiny \(W\).

  Nechť \(u \in W\) a \(\alpha \in \mathbb{R}\) \[u = \left(5s^\prime-t^\prime,\,2s^\prime+t^\prime,\,s^\prime+3t^\prime\right),~s^\prime,t^\prime \in \mathbb{R}.\] Provedeme součin skaláru \(\alpha\) a vektoru \(u\) \[\alpha\cdot u = \alpha\cdot\left(5s^\prime-t^\prime,\,2s^\prime+t^\prime,\,s^\prime+3t^\prime\right) =\] \[=\left(5\alpha s^\prime-\alpha t^\prime,\,2\alpha s^\prime+\alpha t^\prime,\,\alpha s^\prime+3\alpha t^\prime\right).\] Označíme \(s = \alpha s^\prime\) a \(t = \alpha t^\prime \), vektor tak bude mít složky \[ \begin{eqnarray} \alpha\cdot u = &\left(5s - t,\,2s + t,\, s + 3t\right)&\in W.\\ \mathrm{Porovnejme~s\quad}\color{grey}{W =} &\color{grey}{\lbrace\left(5s-t,\,2s+t,\,s+3t\right)};&\color{grey}{\,s,t\in\mathbb{R}\rbrace}.\\ \end{eqnarray} \] Je-li \(s^\prime,t^\prime \in\mathbb{R}\), pak i \(s = \alpha s^\prime \in \mathbb{R}\) a \(t = \alpha t^\prime \in \mathbb{R}\).

  Tvar předpisů pro složky výsledného vektoru \(\alpha \cdot u\) odpovídá předpisu složek vektorů množiny \(W\). Množina je uzavřená vůči vzití násobku.

• Odpověď

  Množina \[W = \big\{(5s-t,2s+t,s+3t);\,s,t\in\mathbb{R}\big\}\] je podprostorem vektorového prostoru \(\mathbb{R}^3\) na polem \(\mathbb{R}\).