Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu II.

Úloha číslo: 1378

• Rozbor

  Nalezení matice endomorfismu znamená dle definice ve stručnosti:

  • Zobrazit vektory báze prostoru.
  • Vyjádřit tyto obrazy jako lineární kombinaci vektorů báze
  • Koeficienty lineárních kombinací zapsat do matice.

  Úloha s představením teoretického základu Matice homomorfismu.

• 1. Nápověda – matice vzhledem k bázi M

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\). Souřadnice zapište správně do matice.

  Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

• 1. Řešení nápovědy – matice vzhledem k bázi M

  Nalezněme obrazy vektorů báze \(M\). \[ \color{grey}{ \begin{eqnarray} \mathrm{Předpis:\ }f(x,y,z,w) &=& (2x+3y+z+5w,y+4z+3w,x+6z+2w,\\ &\phantom{=}&~~3x+y+4z+w). \end{eqnarray} } \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}3,2{,}2)&=&(2{,}3,3{,}2)\\ f(0{,}2,5{,}1)&=&(2{,}4,4{,}2)\\ f(1{,}2,2{,}6)&=&(5{,}0,4{,}5)\\ f(2{,}4,3{,}1)&=&(3{,}5,1{,}2)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\) označíme následovně. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(2{,}3,3{,}2)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_1,b_1,c_1,d_1)\\ \big\langle(2{,}4,4{,}2)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_2,b_2,c_2,d_2)\\ \big\langle(5{,}0,4{,}5)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_3,b_3,c_3,d_3)\\ \big\langle(3{,}5,1{,}2)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_4,b_4,c_4,d_4)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(M\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(M\) dávající příslušné obrazy. \[ \begin{eqnarray} (2{,}3,3{,}2) = a_1 (1{,}3,2{,}2) + b_1 (0{,}2,5{,}1) + c_1 (1{,}2,2{,}6) + d_1 (2{,}4,3{,}1)\\ (2{,}4,4{,}2) = a_2 (1{,}3,2{,}2) + b_2 (0{,}2,5{,}1) + c_2 (1{,}2,2{,}6) + d_2 (2{,}4,3{,}1)\\ (5{,}0,4{,}5) = a_3 (1{,}3,2{,}2) + b_3 (0{,}2,5{,}1) + c_3 (1{,}2,2{,}6) + d_3 (2{,}4,3{,}1)\\ (3{,}5,1{,}2) = a_4 (1{,}3,2{,}2) + b_4 (0{,}2,5{,}1) + c_4 (1{,}2,2{,}6) + d_4 (2{,}4,3{,}1)\\ \end{eqnarray} \]

  Souřadnice \(a_i, b_i, c_i, d_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.

  \[ \begin{equation} \left.\begin{aligned} &(2{,}3,3{,}2)\\ &(2{,}4,4{,}2)\\ &(5{,}0,4{,}5)\\ &(3{,}5,1{,}2)\\ \end{aligned}\right\} = a_i (1{,}3,2{,}2) + b_i (0{,}2,5{,}1) + c_i (1{,}2,2{,}6) + d_i (2{,}4,3{,}1) \end{equation} \] Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice. \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} a_i & & & + & c_i & + & 2d_i & = &2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 3 & \qquad \mathrm{(1)} \\ 3a_i & + & 2b_i & + & 2c_i & + & 4d_i & = &3 \,|\, 4 \,|\, 0 \,|\, 5 & \qquad \mathrm{(2)} \\ 2a_i & + & 5b_i & + & 2c_i & + & 3d_i & = &3 \,|\, 4 \,|\, 4 \,|\, 1 & \qquad \mathrm{(3)} \\ 2a_i & + & b_i & + & 6c_i & + & d_i & = &2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 2 & \qquad \mathrm{(4)} \\ \end{array} \]

  Rovnici s \(i\)-tými indexy náleží jako pravá strana \(i\)-tý „chlíveček“.

  Tuto soustavu můžeme vyřešit například užitím matice. \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 3 \\ 3 & 2 & 2 & 4 & 3 \,|\, 4 \,|\, 0 \,|\, 5 \\ 2 & 5 & 2 & 3 & 3 \,|\, 4 \,|\, 4 \,|\, 1 \\ 2 & 1 & 6 & 1 & 2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+4I\\ III+5I\\ IV + 5I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 3 \\ 0 & 2 & 6 & 5 & 4 \,|\, 5 \,|\, 6 \,|\, 3 \\ 0 & 5 & 0 & 6 & 6 \,|\, 0 \,|\, 1 \,|\, 2 \\ 0 & 1 & 4 & 4 & 5 \,|\, 5 \,|\, 2 \,|\, 3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III+II\\ 2IV + III \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 3 \\ 0 & 2 & 6 & 5 & 4 \,|\, 5 \,|\, 6 \,|\, 3 \\ 0 & 0 & 6 & 4 & 3 \,|\, 5 \,|\, 0 \,|\, 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \,|\, 3 \,|\, 5 \,|\, 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + III \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 3 \\ 0 & 2 & 6 & 5 & 4 \,|\, 5 \,|\, 6 \,|\, 3 \\ 0 & 0 & 6 & 4 & 3 \,|\, 5 \,|\, 0 \,|\, 5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 5 \,|\, 1 \,|\, 5 \,|\, 6 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \phantom{VII+0II}\\ \end{array} \] Z odstupňovaného tvaru snadno dopočítáme řešení. \[ \begin{array}{rclccl} 4d_i& = & 5 \,|\, 1 \,|\, 5 \,|\, 6 &\quad\Rightarrow\quad & d_i = 3 \,|\, 2 \,|\, 3 \,|\, 5 \\ 6c_i& = & 3d_i + 3 \,|\, 5 \,|\, 0 \,|\, 5 & \quad\Rightarrow\quad & c_i = 2 \,|\, 3 \,|\, 5 \,|\, 1 \\ 2b_i& = & c_i + 2d_i + 4 \,|\, 5 \,|\, 6 \,|\, 3 & \quad\Rightarrow\quad & b_i = 6 \,|\, 6 \,|\, 5 \,|\, 0 \\ a_i& = & 6c_i + 5d_i + 2 \,|\, 2 \,|\, 5 \,|\, 3 & \quad\Rightarrow\quad & a_i = 1 \,|\, 2 \,|\, 1 \,|\, 6 \\ \end{array} \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice homomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&1&6\\ 6&6&5&0\\ 2&3&5&1\\ 3&2&3&5\\ \end{pmatrix}. \]

• 2. Nápověda – matice vzhledem ke kanonické bázi

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

  Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

• 2. Řešení nápovědy – matice vzhledem ke kanonické bázi

  Nalezněme obrazy vektorů kanonické báze generující prostor \(\mathbb{Z}_7^4\). \[ \color{grey}{ \begin{eqnarray} \mathrm{Předpis:\ }f(x,y,z,w) &=& (2x+3y+z+5w,y+4z+3w,x+6z+2w,\\ &\phantom{=}&~~3x+y+4z+w). \end{eqnarray} } \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0{,}0)&=&(2{,}0,1{,}3)\\ f(0{,}1,0{,}0)&=&(3{,}1,0{,}1)\\ f(0{,}0,1{,}0)&=&(1{,}4,6{,}4)\\ f(0{,}0,0{,}1)&=&(5{,}3,2{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi jsou přímo složky vektorů. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(2{,}0,1{,}3)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(2{,}0,1{,}3)\\ \big\langle(3{,}1,0{,}1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(3{,}1,0{,}1)\\ \big\langle(1{,}4,6{,}4)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(1{,}4,6{,}4)\\ \big\langle(5{,}3,2{,}1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(5{,}3,2{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Nalezené souřadnice poklademe ve sloupce matice.
  \[ B= \begin{pmatrix} 2&3&1&5\\ 0&1&4&3\\ 1&0&6&2\\ 3&1&4&1\\ \end{pmatrix}. \] Matice \(B\) je maticí endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi.

• Odpověď

  1. Matice endomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&1&6\\ 6&6&5&0\\ 2&3&5&1\\ 3&2&3&5\\ \end{pmatrix}. \]
  2. Matice endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 2&3&1&5\\ 0&1&4&3\\ 1&0&6&2\\ 3&1&4&1\\ \end{pmatrix}. \]