Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu II.

Úloha číslo: 1378

Endomorfismus \(f\) prostoru \(\mathbb{Z}_7^4 \longrightarrow \mathbb{Z}_7^3\) je dán předpisem

\[ \begin{eqnarray} f(x,y,z,w) &=& (2x+3y+z+5w,y+4z+3w,x+6z+2w,\\ &\phantom{=}&~~3x+y+4z+w). \end{eqnarray} \]
  1. Najděte matici endomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M = \big\{(1{,}3,2{,}2),(0{,}2,5{,}1),(1{,}2,2{,}6),(2{,}4,3{,}1)\big\}\).

  2. Najděte matici endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi.

  • Rozbor

    Nalezení matice endomorfismu znamená dle definice ve stručnosti:

    • Zobrazit vektory báze prostoru.
    • Vyjádřit tyto obrazy jako lineární kombinaci vektorů báze
    • Koeficienty lineárních kombinací zapsat do matice.

    Úloha s představením teoretického základu Matice homomorfismu.

  • 1. Nápověda – matice vzhledem k bázi M

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\). Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • 2. Nápověda – matice vzhledem ke kanonické bázi

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • Odpověď

    1. Matice endomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&1&6\\ 6&6&5&0\\ 2&3&5&1\\ 3&2&3&5\\ \end{pmatrix}. \]
    2. Matice endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 2&3&1&5\\ 0&1&4&3\\ 1&0&6&2\\ 3&1&4&1\\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze