Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Maticový rozbor VIII.

Úloha číslo: 1431

Je dán Jordanův kanonický tvar \(J\) matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_7\) vzhledem k bázi \(M = \big\lbrace (1,{}4,{}2),(3,{}2,{}1),(2,{}5,{}1)\big\rbrace\). Určete matici \(A\). \[ J= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}. \]
  • Rozbor

    Zatímco v předchozích úlohách jsme hledali Jordanův kanonický tvar určené matice a příslušnou bázi, zde je úkol přesně opačný. Přiznejme, že jednodušší.

    Podívejme se na problém v homomorfním „nářečí“.

    Hledaná matice \(A\) je maticí endomorfismu \(f\) prostoru \(\mathbb{Z}_7^3\) vzhledem ke kanonické bázi. Zadaná je matice \(J\) endomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(B\). Zakresleme do schématu. \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 \\ ^{B} & S^{-1} & ^\mathrm{k.b} & A & ^\mathrm{k.b.} & S & ^{B}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{J=S^{-1}AS}\]
    • Matici přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi označme \(S\).
    • Maticí přechodu od kanonické báze k bázi \(B\) je pak matice \(S^{-1}\).

    Endomorfismus \(f\) má vzhledem k bázi \(B\) matici \(J=S^{-1}AS\).
    Rovnost vynásobíme maticí \(S\) zleva a maticí \(S^{-1}\) zprava,

    \[ \begin{eqnarray} &J& &=& \phantom{S}S^{-1}AS \\ S&J&S^{-1} &=& SS^{-1}ASS^{-1} \\ S&J&S^{-1} &=& \hspace{0.75cm}EAE \\ S&J&S^{-1} &=& \phantom{SS^{-1}} A, \end{eqnarray} \] čímž dostáváme vyjádření pro hledanou matici \[ A = SJS^{-1}. \] Matice \(S\) je maticí přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi. Matice \(S^{-1}\) je inverzní matice k matici \(S\).
  • Nápověda

    Na základě úvah uvedených v rozboru určete matici \(A\).
  • Odpověď

    Našli jsme hledanou matici \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 5 & 5 & 4 \\ 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze