Sbírka řešených úloh

Maticový rozbor VIII.

Úloha číslo: 1431

• Rozbor

  Zatímco v předchozích úlohách jsme hledali Jordanův kanonický tvar určené matice a příslušnou bázi, zde je úkol přesně opačný. Přiznejme, že jednodušší.

  Podívejme se na problém v homomorfním „nářečí“.

  Hledaná matice \(A\) je maticí endomorfismu \(f\) prostoru \(\mathbb{Z}_7^3\) vzhledem ke kanonické bázi. Zadaná je matice \(J\) endomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(B\). Zakresleme do schématu. \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 \\ ^{B} & S^{-1} & ^\mathrm{k.b} & A & ^\mathrm{k.b.} & S & ^{B}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{J=S^{-1}AS}\]

  • Matici přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi označme \(S\).
  • Maticí přechodu od kanonické báze k bázi \(B\) je pak matice \(S^{-1}\).

  Endomorfismus \(f\) má vzhledem k bázi \(B\) matici \(J=S^{-1}AS\).
  Rovnost vynásobíme maticí \(S\) zleva a maticí \(S^{-1}\) zprava,

  \[ \begin{eqnarray} &J& &=& \phantom{S}S^{-1}AS \\ S&J&S^{-1} &=& SS^{-1}ASS^{-1} \\ S&J&S^{-1} &=& \hspace{0.75cm}EAE \\ S&J&S^{-1} &=& \phantom{SS^{-1}} A, \end{eqnarray} \] čímž dostáváme vyjádření pro hledanou matici \[ A = SJS^{-1}. \] Matice \(S\) je maticí přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi. Matice \(S^{-1}\) je inverzní matice k matici \(S\).

• Nápověda

  Na základě úvah uvedených v rozboru určete matici \(A\).

• Řešení nápovědy

  Maticí přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi je matice, která má ve sloupcích po řadě vektory báze \(B\), tj. \[ S = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

  Nejprve určíme inverzní matici k matici \(S\), např. metodou užitou v tomto příkladě.

  \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 2 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 5 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \ \ldots\ \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 4 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \,&\, 6 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 & 5 & 4 \end{array}\right) \] \[ S^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4 \\ 6 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \end{pmatrix} \] Hledaná matice \(A\) je dána maticovým součinem (viz rozbor) \[ A = SJS^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4 \\ 6 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \end{pmatrix}= \] \[ = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 1 & 4 \\ 6 & 6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4 \\ 6 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 5 & 5 & 4 \\ 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}. \]

• Odpověď

  Našli jsme hledanou matici \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 5 & 5 & 4 \\ 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}. \]