Duální báze III.
Úloha číslo: 1455
Je dána báze \(M^*=\{f_1,f_2,f_3 \}\) duální k bázi \(M\) na prostoru \(\mathbb{R}^3\).
Určete bázi \(M\), jestliže formy \(f_1, f_2,f_3\) jsou zadány vzhledem ke kanonické bázi následovně:
\[f_1(x)=x_1\] \[f_2(x)=x_1+2x_2\] \[f_3(x)=x_1+2x_2+3x_3\]Rozbor
Před zahájením výpočtu je vhodné zopakovat si následující teorii:
Co je vlastně úkolem?
Úkolem je vyjádřit bázi \(M\), k níž je báze \(M^*\) duální vzhledem k bázi \(N\), vůči níž jsou zadány formy tvořící bázi \(M^*\).
Následující postup uplatňujeme v případě obecnějšího zadání vektorů báze \(M^*\) vzhledem k obecné bázi \(N\) prostoru, nad kterým počítáme.
Postup
Známe-li vyjádření forem báze \(M^*\) vzhledem k bázi \(N\) a máme-li určit z těchto údajů bázi \(M\) k níž je \(M^*\) duální, postupujme následovně:
Nejprve určeme vektory báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi prostoru.
Kde využijeme platnost \(M^* \cdot M = E\) a hledání duální báze tak převedeme v řešení maticového výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \( \langle M^*\rangle_N \) v řádcích, pak obdržíme vektory \( \langle M \rangle_{k.b.} \) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Pomocí matice přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi vyjádřeme souřadnice získaných vektorů báze \(M\) vzhledem k bázi \(N\).
Řešením maticového výrazu \((E|N) \sim (E|P)\) určeme matici přechodu \(P\) od \(k.b.\) k \(N\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, \(E\) rozumíme jednotkovou maticí a \(P\) hledanou maticí přechodu.
Matici \(M\) pak získáme jako:
\[\langle M \rangle_N=P \langle M\rangle_{k.b.}\]kdy vektory hledané báze \(M\) budou obsaženy v sloupcích matice \(\langle M \rangle_N\).
Nápověda 1. - Využití duality bází
S využitím duality bází vyjádřete \( \langle M\rangle_{k.b.} \). Rozmyslete si, vůči jaké bázi \(N\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) je zadána báze \( M^*=\{f_1,f_2,f_3 \} \) .
Řešení
Bázi \(M\), k níž je \(M^*\) duální, zadanou vůči vektorům kanonické báze, získáme řešením výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \(\langle M^*\rangle_N\) v řádcích, pak obdržíme vektory \(\langle M\rangle_{k.b.}\) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Báze \(N\) vzhledem k níž je zadána duální báze je bází kanonickou, tudíž řešením maticového výrazu rovnou obdržíme bázi \(M\) zadanou vůči kanonické bázi, nemusíme tedy nic dále přepočítávat a maticový výraz tedy rovnou můžeme řešit jako:
\[(M^*|E) \sim \cdots \sim (M|E)\] \[\left( \begin{array}{lll|rrr} \cdots & f_1 & \cdots & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ \cdots & f_2 & \cdots & & 0 & 1 & 0 \\ \cdots & f_3 & \cdots & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \] \[=\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \cdots \] \[ \cdots \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 0 & & m_1 & m_2 & m_3 \\ 0 & 0 & 1 & & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{array} \right)\]po dosazení:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II-I\\ III-I\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} III-II\\ \\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & & 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} III/3\\ II/2\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \] \[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]Kde vektory hledané báze \(M\) jsou v sloupcích získané matice.
a tedy \(M=\{ (1,-\frac{1}{2},0),(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{3}),(0{,}0,\frac{1}{3}) \}\)
