Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu a změna bází

Úloha číslo: 1386

Homomorfismus \(f:\,\mathbb{Z}_5^2 \rightarrow \mathbb{Z}_5^3\) má vzhledem k bázím \[M = \big\{(1{,}0),(4{,}1)\big\},\quad N=\big\{(1{,}1,1),(1{,}0,4),(1{,}4,0)\big\}\] matici \[ B=\begin{pmatrix} 1&2\\ 2&2\\ 3&0\\ \end{pmatrix}. \] Najděte matici homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \[M^\prime = \big\{(2{,}3),(0{,}2)\big\},\quad N^\prime=\big\{(0{,}1,1),(1{,}1,0),(1{,}1,1)\big\}.\]
  • Rozbor

    V této úloze zužitkujeme veškeré dosavadní poznatky o maticích homomorfismu, maticích přechodu a matici složeného homomorfismu.

    Schéma homomorfismu na každé straně rozšíříme identickým automorfismem na nové čárkované báze.

    \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{Z}_5^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{Z}_5^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{Z}_5^2 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{Z}_5^2 \\ ^{N^\prime} & A & ^N & B & ^M & C & ^{M^\prime}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{ABC}\]
    • \(A\) je matice přechodu od báze \(N\) k bázi \(N^\prime\)
    • \(B\) je matice homomorfismu vzhledem k bázím \(M,N\)
    • \(C\) je matice přechodu od báze \(M^\prime\) k bázi \(M\)

    Naším úkolem bude vypočítat matice přechodu \(A,C\), obdobně jako v této úloze. Matici homomorfismu vzhledem k novým bázím určíme jako součin matic \(ABC\).

  • Nápověda 1 – matice přechodu od N k N'

    Nalezněte matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(N^\prime\). Tedy do sloupců matice napište nejprve vektory báze \(N^\prime\), dále vektory báze \(N\), a na takto vzniklou matici provádějte řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice.
  • Nápověda 2 – matice přechodu od M' k M

    Nalezněte matici přechodu od báze \(M^\prime\) k bázi \(M\). Tj. do sloupců matice napište nejprve vektory báze \(M\), dále vektory báze \(M^\prime\), a na takto vzniklou matici provádějte řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice.
  • Nápověda 3 – matice homomorfismu vzhledem k novým bázím

    Dle věty o matici složeného homomorfismu je matice homomorfismu \(f\) vzhledem k novým bázím rovna součinu matic \(ABC\). Součin proveďte.
  • Odpověď

    Maticí homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M^\prime\) a \(N^\prime\) je matice \[ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze