Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu a změna bází

Úloha číslo: 1386

• Rozbor

  V této úloze zužitkujeme veškeré dosavadní poznatky o maticích homomorfismu, maticích přechodu a matici složeného homomorfismu.

  Schéma homomorfismu na každé straně rozšíříme identickým automorfismem na nové čárkované báze.

  \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{Z}_5^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{Z}_5^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{Z}_5^2 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{Z}_5^2 \\ ^{N^\prime} & A & ^N & B & ^M & C & ^{M^\prime}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{ABC}\]

  • \(A\) je matice přechodu od báze \(N\) k bázi \(N^\prime\)
  • \(B\) je matice homomorfismu vzhledem k bázím \(M,N\)
  • \(C\) je matice přechodu od báze \(M^\prime\) k bázi \(M\)

  Naším úkolem bude vypočítat matice přechodu \(A,C\), obdobně jako v této úloze. Matici homomorfismu vzhledem k novým bázím určíme jako součin matic \(ABC\).

• Nápověda 1 – matice přechodu od N k N'

  Nalezněte matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(N^\prime\). Tedy do sloupců matice napište nejprve vektory báze \(N^\prime\), dále vektory báze \(N\), a na takto vzniklou matici provádějte řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice.

• Řešení nápovědy 1 – matice přechodu od N k N'

  Do sloupců matice napíšeme nejprve vektory báze \(N^\prime\), dále vektory báze \(N\). Na takto vzniklou matici budeme provádět řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice. \[ \left( \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 1 & 1 \, & \, 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \, & 1 & 0 & 4\\ 1 & 0 & 1 \, & 1 & 4 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I+II\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 \, & \, 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \, & 1 & 0 & 4\\ 1 & 0 & 1 \, & 1 & 4 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+4I\\ III+4I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 \, & \, 2 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 4 \, & 4 & 4 & 4\\ 0 & 3 & 4 \, & 4 & 3 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III+II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 \, & \, 2 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 4 \, & 4 & 4 & 4\\ 0 & 0 & 2 \, & 2 & 0 & 4\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I+2II\\ 2II + III\\ \phantom{III}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 \, & \, 0 & 4 & 3\\ 0 & 3 & 0 \, & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 2 \, & 2 & 0 & 4\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ 2II\\ 3III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 \, & \, 0 & 4 & 3\\ 0 & 1 & 0 \, & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 1 \, & 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} I\\ II\\ III\\ \end{array} } \] Na pravé straně jsme získali matici přechodu \(A\) od báze \(N\) k bázi \(N^\prime\): \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3\\ 0 & 1 & 4\\ 1 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – matice přechodu od M' k M

  Nalezněte matici přechodu od báze \(M^\prime\) k bázi \(M\). Tj. do sloupců matice napište nejprve vektory báze \(M\), dále vektory báze \(M^\prime\), a na takto vzniklou matici provádějte řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice.

• Řešení nápovědy 2 – matice přechodu od M' k M

  Do sloupců matice napíšeme nejprve vektory báze \(M\), dále vektory báze \(M^\prime\). Na takto vzniklou matici budeme provádět řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice. \[ \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & 4 \, & \, 2 & 0 \\ 0 & 1 \, & \, 3 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I+II\\ \phantom{II}\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & 0 \, & \, 0 & 2 \\ 0 & 1 \, & \, 3 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \end{array} \] Na pravé straně jsme získali matici přechodu \(C\) od báze \(M^\prime\) k bázi \(M\): \[ C= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 3 – matice homomorfismu vzhledem k novým bázím

  Dle věty o matici složeného homomorfismu je matice homomorfismu \(f\) vzhledem k novým bázím rovna součinu matic \(ABC\). Součin proveďte.

• Řešení nápovědy 3 – matice vzhledem k novým bázím

  Matice homomorfismu \(f\) vzhledem k novým bázím \(M^\prime, N^\prime\) je dána součinem matic \(ABC\), tj. konkrétně \[ \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3\\ 0 & 1 & 4\\ 1 & 0 & 2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 2&2\\ 3&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}. \]

• Odpověď

  Maticí homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M^\prime\) a \(N^\prime\) je matice \[ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}. \]