Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Diagonalizovatelnost matice

Úloha číslo: 1421

Máme množinu matic \(A,\dots,E\) nad polem \(T\) s minimálními polynomy po řadě

\[ \begin{eqnarray} m_\mathrm{A}(\lambda) &=& (\lambda - 1)(\lambda+2)(\lambda +3),\\ m_\mathrm{B}(\lambda) &=& (\lambda + 4)(\lambda-3)(\lambda +5)^2,\\ m_\mathrm{C}(\lambda) &=& (\lambda - 2)(\lambda+4)(\lambda - 2),\\ m_\mathrm{D}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 1)(\lambda - 3),\\ m_\mathrm{E}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 1)(\lambda - 3)^2. \end{eqnarray} \]

Které z matic jsou diagonalizovatelné, je-li \(T=\mathbb{R}\)? A co v případě \(T=\mathbb{C}\)?

  • Kdy je matice nad daným polem diagonalizovatelná?

    Při řešení této úlohy nám pomůže věta
    (i) Diagonalizovatelnost matice

    Matice \(A\) řádu \(n\) nad polem \(T\) je diagonalizovatelná (podobná diagonální matici) právě tehdy, když existuje báze prostoru \(T^n\) složená z vlastních vektorů matice \(A\).

    To nastane právě tehdy, když je minimální polynom matice \(A\) rozložitelný nad polem \(T\) na lineární faktory a má jednoduché kořeny.

    Diagonalizovatelnost tedy silně závisí na tom, nad jakým polem je matice zadána.
  • Nápověda

    U každé matice rozhodněte o diagonalizovatelnosti nad příslušným polem podle věty uvedené výše.

    Je příslušný minimální polynom nad daným polem rozložitelný na lineární faktory? Má jednoduché kořeny?
  • Závěr

    Diagonalizovatelné jsou matice

    • \(A\) nad \(\mathbb{R}\),
    • \(A\) nad \(\mathbb{C}\),
    • \(D\) nad \(\mathbb{C}\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze