Sbírka řešených úloh

Diagonalizovatelnost matice

Úloha číslo: 1421

• Kdy je matice nad daným polem diagonalizovatelná?

  Při řešení této úlohy nám pomůže věta

  (i) Diagonalizovatelnost matice

  Matice \(A\) řádu \(n\) nad polem \(T\) je diagonalizovatelná (podobná diagonální matici) právě tehdy, když existuje báze prostoru \(T^n\) složená z vlastních vektorů matice \(A\).

  To nastane právě tehdy, když je minimální polynom matice \(A\) rozložitelný nad polem \(T\) na lineární faktory a má jednoduché kořeny.

  Diagonalizovatelnost tedy silně závisí na tom, nad jakým polem je matice zadána.

• Nápověda

  U každé matice rozhodněte o diagonalizovatelnosti nad příslušným polem podle věty uvedené výše.

  Je příslušný minimální polynom nad daným polem rozložitelný na lineární faktory? Má jednoduché kořeny?

• Řešení nápovědy

  \[ \begin{eqnarray} m_\mathrm{A}(\lambda) &=& (\lambda - 1)(\lambda+2)(\lambda +3),\\ m_\mathrm{B}(\lambda) &=& (\lambda + 4)(\lambda-3)(\lambda +5)^2,\\ m_\mathrm{C}(\lambda) &=& (\lambda - 2)(\lambda+4)(\lambda - 2),\\ m_\mathrm{D}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 1)(\lambda - 3),\\ m_\mathrm{E}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 1)(\lambda - 3)^2. \end{eqnarray} \]

  Minimální polynomy matic \(A,B,C\) jsou rozložitelné na lineární faktory jak v \(\mathbb{R}\), tak v \(\mathbb{C}\). Polynom matice \(A\) má navíc jednoduché kořeny.

  Minimální polynomy matice \(D,E\) jsou nad \(\mathbb{R}\) nerozložitelné na lineární faktory, v \(\mathbb{C}\) rozložitelné jsou. Polynom matice \(D\) má nad \(\mathbb{C}\) jednoduché kořeny, polynom matice \(E\) zde jednoduché kořeny nemá.

  Shrňme tyto informace do tabulky zahrnující pravdivost požadovaných vlastností.

  Polynom	\(T = \mathbb{R}\)				\(T=\mathbb{C}\)
  	\(\mho\)	\(a\)	\(b\)	\(a\wedge b\)	\(\mho\)	\(a\)	\(b\)	\(a\wedge b\)
  \(m_A\)	\(\lbrace 1,-2,-3 \rbrace\)	\(1\)	\(1\)	\(\color{blue}{1}\)	\(\lbrace 1,-2,-3 \rbrace\)	\(1\)	\(1\)	\(\color{blue}{1}\)
  \(m_B\)	\(\lbrace -4,{}3,-5,-5 \rbrace\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(\lbrace -4,{}3,-5,-5 \rbrace\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
  \(m_C\)	\(\lbrace 2,-4,{}2 \rbrace\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(\lbrace 2,-4,{}2 \rbrace\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
  \(m_D\)	\(\lbrace 3 \rbrace\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(\lbrace 3,{}i,-i \rbrace\)	\(1\)	\(1\)	\(\color{blue}{1}\)
  \(m_E\)	\(\lbrace 3{,}3 \rbrace\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(\lbrace 3,{}3,{}i,-i \rbrace\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)

  Symbol \(\mho\) značí soubor kořenů minimálního polynomu zohledňující násobnost.

  \(\mathrm{Výrok\ }a:\qquad\mathrm{polynom\ je\ rozložitelný\ na\ lineární\ faktory,}\)

  \(\mathrm{Výrok\ }b:\qquad\mathrm{polynom\ má\ pouze\ jednoduché\ kořeny.}\)

  Aby byla matice nad \(T\) diagonalizovatelná, musí být její minimální polynom nad \(T\) rozložitelný na lineární faktory a mít jednoduché kořeny.

  Diagonalizovatelná je tedy matice, pro níž je konjunkce \(a\wedge b\) pravdivá.

  Dle tabulky je tedy diagonalizovatelná matice

  • \(A\) nad \(\mathbb{R}\),
  • \(A\) nad \(\mathbb{C}\),
  • \(D\) nad \(\mathbb{C}\).

• Závěr

  Diagonalizovatelné jsou matice

  • \(A\) nad \(\mathbb{R}\),
  • \(A\) nad \(\mathbb{C}\),
  • \(D\) nad \(\mathbb{C}\).