Analytické vyjádření lineární formy II.
Úloha číslo: 1446
Lineární forma f na prostoru \(\mathbb{R}^4\) vzhledem k bázi \(M=\{ (1{,}0,2{,}3), (0{,}1,1{,}0), (0{,}1,2{,}0),(1{,}0,1,-1) \}\) analytické vyjádření \(f(x)=4x_1-3x_2+2x_3-x_4\).
Určete její analytické vyjádření vzhledem ke kanonické bázi.
Rozbor
Analytickým vyjádřením lineární formy \(f\) na prostoru \(V\) dimenze \(n\) vzhledem k jeho bázi \(M=\{ v_1, \cdots , v_n \}\) rozumíme zápis
\[f(x)=x_1f(v_1) + \cdots + x_nf(v_n), \,\, \forall x=(x_1, \cdots ,x_n) \in V\]Přičemž \(\big(f(v_1), \cdots ,f(v_n)\big)\) je maticí lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\). V podstatě se jedná o matici homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M\) a {1}. (více o Matice homomorfismu).
Máme-li zadané analytické vyjádření lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), máme zadanou i matici \(A\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(M\) a tedy i matici homomorfismu \(f\) od báze \(M\) k bázi {1}. Potřebujeme-li najít matici \(B\) homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(N\) a {1} a tedy matici \(B\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(N\), musíme nejprve najít matici přechodu \(P\) (Matice přechodu) od báze \(N\) k bázi \(M\).
Níže uvedené schéma znázorňuje popisovanou situaci.
\[ \overset{f}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & \bar{1} &\\ T & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & V\\ ^{\{1\}} & \color{maroon}{A} & ^{\mathrm{M}} & \color{maroon}{P} & ^{N} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{B=AP}}\]Určíme-li matici přechodu \(P\) od \(N\) k \(M\), pak vyjádříme požadovanou Matici \(B\) jako součin:
\[B=AP\] \[B= (b_1, \cdots , b_n)\]Z \(B\) již pak snadno vyčteme požadované analytické vyjádření \(f\) vzhledem k \(N\) jako:
\[ f(x)=x_1 b_1 + \cdots x_n b_n ,\,\, \forall x=(x_1, \cdots, x_n)\in V\]Kouzelný vzoreček
Celý postup můžeme shnout pomocí jiného formalismu následovně.
máme:
\[f(x)=A \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M\tag{1}\]chceme:
\[f(x)=B \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\tag{2}\]využijeme přechodu \(P\) od \(N\) k \(M\):
\[ \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M = P \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\tag{3}\]po dosazení (3) do (1) obdržíme:
\[f(x)=A P \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\]ve srovnání s (2) získáváme:
\[B=A P\]Nápověda 1. Matice přechodu
Rozmyslete si, od jaké báze \(\mathbb{R}^4\) ke které potřebujeme matici přechodu (Matice přechodu II.) a následně ji určete.
Pro přehlednost je mnohdy vhodné načrtnout si schéma zadané situace.
Nápověda 3. Analytické vyjádření
Pomocí získané matice přechodu \(P\) a již známe matice lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) nyní určete v souladu se zhotoveným schématem matici \(f\) vzhledem ke kanonické bázi, z ní následně vyčtěte požadované analytické vyjádření.
Řešení
schéma situace:
\[ \overset{f}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & \bar{1} &\\ \mathbb{R} & \longleftarrow---- & \mathbb{R}^4 & \longleftarrow---- & \mathbb{R}^4\\ ^{\{1\}} & \color{maroon}{A} & ^{\mathrm{M}} & \color{maroon}{P} & ^{k.b.} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{B=AP}}\]Nejprve tedy určíme matici přechodu \(P\) od \(k.b.\) k bázi \(M\) a to řešením maticového výrazu \((M|E)~\cdots ~(E|P)\), kde vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí.
Musíme tedy vyřešit maticový výraz \((M|E)~\cdots ~(E|P)\), kde vektory bází píšeme do sloupců matic, \(E\) rozumíme jednotkovou maticí a \(P\) hledanou maticí přechodu.
\[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\,&\, 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \\ III - 2I\\ IV - 3I\\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\,&\, 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -1& -2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-4 & -3 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \\ III - II\\ \\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\,&\, 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1& -2 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-4 & -3 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \\ \\ \frac{1}{4}IV\\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\,&\, 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1& -2 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-1 & -\frac{3}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}I+IV\\ \\ \\ III-IV\\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\,&\, \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0& -\frac{5}{4} & -1 & 1 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 &-1 & -\frac{3}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \\ II-III\\ \\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\,&\, \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{5}{4} & 2 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 & 0& -\frac{5}{4} & -1 & 1 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 &-1 & -\frac{3}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \\ \\ -IV\\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\,&\, \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{5}{4} & 2 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1 & 0& -\frac{5}{4} & -1 & 1 & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 &1 & \frac{3}{4} & 0 & 0 & -\frac{1}{4}\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \\ \\ \\ \end{array} \sim \] Hledaná matice přechodu \(P\) je po vytknutí \(\frac{1}{4}\) tedy: \[ P = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 8 & -4 & 1 \\ 5 & -4 & 4 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]Matici \(B\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(k.b.\) získáme jako součin:
\[B=AP\]kde \(A\) vyčteme přímo z analytického vyjádření \(f\) vzhledem k \(M\) jako:
\[A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}\] \[B=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 8 & -4 & 1 \\ 5 & -4 & 4 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -8 & 5 & 0 \end{pmatrix} \]požadované vyjádření \(f\) vzhledem ke \(k.b.\) je tedy:
\[f(x)=6x_1-8x_2-5x_3,\,\, \forall x \in \mathbb{R}^4\]
