Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Inverzní matice pomocí determinantu

Úloha číslo: 1345

Ovládate-li již výpočet determinantů, můžete inverzní matici vypočítat i jinak. V této úloze si ukážeme jak. Výpočet bude probíhat podle následující věty.
(i) Inverzní matice pomocí determinantů

Nechť \(R\) je okruh s jednotkovým prvkem a \(A\) čtvercová matice nad \(R\).

Matice \(A\) je invertibilní, právě tehdy když je její determinant invertibilním prvkem okruhu \(R\). Nastane-li tento případ pak

\[A^{-1}=(\det{A})^{-1}\cdot A_\mathrm{REC},\]

kde \(A_\mathrm{REC}\) je reciprokou maticí k matici \(A\), pro jejíž prvky platí

\[a^\star_{\color{blue}{i}\color{maroon}{j}}=(-1)^{i+j}\det{A_{\color{maroon}{j}\color{blue}{i}}},\]

kde \(\det{A_{ji}}\) je determinant matice vzniklé z matice \(A\) vypuštěním \(j\)-tého řádku a \(i\)-tého sloupce.

Všimněte si, že prvek na pozici \(ij\) reciproké matice je \(\det A_{ji}\), nikoliv \(\det A_{ij}\).

Úkol:

Pomocí determinantů vypočítejte inverzní matici nad \(\mathbb{R}\) k matici

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}. \]
  • Rozbor

    Při výpočtu inverzní matice pomocí determinantů budeme sledovat uvednou větu.

    To znamená

    • Vypočítáme \(\det A\) a na základě existence \((\det A)^{-1}\) rozhodneme o invertibilitě matice \(A\) nad zadaným okruhem \(R\). V kladném případě pokračujeme ve výpočtu.
    • Nalezneme determinanty \(A_{ji}\), tedy determinanty matic, které mají vynechaný \(j\)-tý řádek a \(i\)-tý sloupec.
    • Z těchto determinantů správně sestavíme reciprokou matici.
    • Vyjádříme inverzní matici.
  • Nápověda 1 – výpočet det A

    Vypočtěte determinant matice \(A\). Existuje-li v \(\mathbb{R}\) prvek \((\det A)^{-1}\), určete jej.
  • Nápověda 2 – výpočet dílčích determinantů det Aji

    K sestavení reciproké matice je třeba determinantů matic \(A_{ji}\), které vzniknou vynecháním \(j\)-tých řádků a \(i\)-tých sloupců. Vypočítejte je.
  • Nápověda 3 – sestavení reciproké matice AREC

    Určete jednotlivé prvky \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) a sestavte ji.
  • Nápověda 4 – vyjádření inverzní matice

    Inverzní matice k matici \(A\) je obecně dána výrazem

    \[A^{-1} = (\det A)^{-1} \cdot A_\mathrm{REC}.\]

    Dopočítejte ji!

  • Odpověď

    Inverzní maticí k matici \(A\) nad \(\mathbb{R}\) je matice \[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} \phantom{-}d & -b \\ -c & \phantom{-}a \\ \end{pmatrix}.\] Pro zkoušku si můžete ověřit, že skutečně \(A\cdot A^{-1} = E\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze