Inverzní matice pomocí determinantu

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Inverzní matice pomocí determinantu

Úloha číslo: 1345

Ovládate-li již výpočet determinantů, můžete inverzní matici vypočítat i jinak. V této úloze si ukážeme jak. Výpočet bude probíhat podle následující věty.

(i) Inverzní matice pomocí determinantů

Nechť \(R\) je okruh s jednotkovým prvkem a \(A\) čtvercová matice nad \(R\).

Matice \(A\) je invertibilní, právě tehdy když je její determinant invertibilním prvkem okruhu \(R\). Nastane-li tento případ pak

\[A^{-1}=(\det{A})^{-1}\cdot A_\mathrm{REC},\]

kde \(A_\mathrm{REC}\) je reciprokou maticí k matici \(A\), pro jejíž prvky platí

\[a^\star_{\color{blue}{i}\color{maroon}{j}}=(-1)^{i+j}\det{A_{\color{maroon}{j}\color{blue}{i}}},\]

kde \(\det{A_{ji}}\) je determinant matice vzniklé z matice \(A\) vypuštěním \(j\)-tého řádku a \(i\)-tého sloupce.

Všimněte si, že prvek na pozici \(ij\) reciproké matice je \(\det A_{ji}\), nikoliv \(\det A_{ij}\).

Úkol:

Pomocí determinantů vypočítejte inverzní matici nad \(\mathbb{R}\) k matici

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}. \]

Rozbor
Při výpočtu inverzní matice pomocí determinantů budeme sledovat uvednou větu.

To znamená
- Vypočítáme \(\det A\) a na základě existence \((\det A)^{-1}\) rozhodneme o invertibilitě matice \(A\) nad zadaným okruhem \(R\). V kladném případě pokračujeme ve výpočtu.
- Nalezneme determinanty \(A_{ji}\), tedy determinanty matic, které mají vynechaný \(j\)-tý řádek a \(i\)-tý sloupec.
- Z těchto determinantů správně sestavíme reciprokou matici.
- Vyjádříme inverzní matici.
Nápověda 1 – výpočet det A
Vypočtěte determinant matice \(A\). Existuje-li v \(\mathbb{R}\) prvek \((\det A)^{-1}\), určete jej.
Řešení nápovědy 1 – výpočet det A
Determinant matice \(A\), která je řádu \(2\), vypočítáme snadno jako rozdíl součinů prvků na hlavní a vedlejší diagonále
\[ \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad - bc. \]
Inverzní prvek k \(\det A\) v \(\mathbb{R}\) existuje, je jím prvek
\[ (\det A)^{-1} = \frac{1}{\det A} = \frac{1}{ad-bc}. \]
Neboť je \(\det A\) na \(\mathbb{R}\) invertibilní, je dle uvedené věty i matice \(A\) invertibilní. Existuje tedy pro ni nad \(\mathbb{R}\) inverzní matice.
Nápověda 2 – výpočet dílčích determinantů det A_ji
K sestavení reciproké matice je třeba determinantů matic \(A_{ji}\), které vzniknou vynecháním \(j\)-tých řádků a \(i\)-tých sloupců. Vypočítejte je.
Řešení nápovědy 2 – výpočet dílčích determinantů det A_ji
Vypočítáme determinant matice \(A_{11}\), tedy matice vzniklé z matice \(A\) vynecháním prvního řádku a prvního sloupce \[\det A_{11} = |d| = d,\] dále determinant matice \(A_{12}\), tedy matice vzniklé z matice \(A\) vynecháním prvního řádku a druhého sloupce \[\det A_{12} = |c| = c,\] ještě determinant matice \(A_{21}\), tedy matice vzniklé z matice \(A\) vynecháním druhého řádku a prvního sloupce \[\det A_{21} = |b| = b,\] a nakonce determinant matice \(A_{22}\), tedy matice vzniklé z matice \(A\) vynecháním druhého řádku a druhého sloupce \[\det A_{22} = |a| = a.\]
Vynecháním sloupce a řádku matice řádu dva vznikne matice prvního řádu, kterou tvoří jeden prvek. Svislé čáry kolem prvků tedy značí determinant matice.
Nápověda 3 – sestavení reciproké matice A_REC
Určete jednotlivé prvky \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) a sestavte ji.
Řešení nápovědy 3 – sestavení reciproké matice A_REC
Prvek \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) je algebraický doplněk prvku \(a_{ji}\) matice \(A\).
Vypočítáme jednotlivé prvky reciproké matice, užijeme přitom již vypočítené determinanty matic \(A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}\). \[ \begin{eqnarray} a^\star_{11} &=& (-1)^{1+1} \cdot \det A_{11} = d \\ a^\star_{12} &=& (-1)^{1+2} \cdot \det A_{21} = -b \\ a^\star_{21} &=& (-1)^{2+1} \cdot \det A_{12} = -c \\ a^\star_{22} &=& (-1)^{2+2} \cdot \det A_{22} = a \\ \end{eqnarray} \] Z těchto prvků již reciprokou matici snadno sestavíme. \[ A_\mathrm{REC} = \big(a^\star_{ij}\big) = \begin{pmatrix} a^\star_{11} & a^\star_{12} \\ a^\star_{21} & a^\star_{22} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phantom{-}d & -b \\ -c & \phantom{-}a \\ \end{pmatrix} \]
Nápověda 4 – vyjádření inverzní matice
Inverzní matice k matici \(A\) je obecně dána výrazem
\[A^{-1} = (\det A)^{-1} \cdot A_\mathrm{REC}.\]
Dopočítejte ji!
Řešení nápovědy 4 – vyjádření inverzní matice
S pomocí vypočítaného prvku \((\det A)^{-1}\) a matice \(A_\mathrm{REC}\) dopočítáme inverzní matici \[A^{-1} = (\det A)^{-1} A_\mathrm{REC} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} \phantom{-}d & -b \\ -c & \phantom{-}a \\ \end{pmatrix}.\]
Odpověď
Inverzní maticí k matici \(A\) nad \(\mathbb{R}\) je matice \[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} \phantom{-}d & -b \\ -c & \phantom{-}a \\ \end{pmatrix}.\] Pro zkoušku si můžete ověřit, že skutečně \(A\cdot A^{-1} = E\).

Sbírka řešených úloh