Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Skalární součin I.

Úloha číslo: 1434

Bilineární forma \(f\) na prostoru \(\mathbb{R}^3\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření

\[f(x,y) = 3x_1y_1+2x_2y_2 + x_3y_3.\]
  1. Ověřte, že \(f\) je skalární součin.
  2. Najděte nějakou ortogonální a ortonormální bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\).
  3. Určete parametr \(a\in\mathbb{R}\) tak, aby vektory \(x,y\) byly na sebe kolmé.

    • \(x=(a-1,{}3,a+1)\quad y=(-4,-a,{}3a)\)

  4. Určete ortogonální doplňky podprostorů \(W_1, W_2, W_3\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\).

    • \(W_1 = \big[(1,{}0,{}0)\big]\)
    • \(W_2 = \big[(1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0)\big]\)
    • \(W_3 = \big[(1,{}0,{}0),(1,{}1,{}0),(1,{}2,{}0)\big]\)

  • Poznámka

    K řešení úlohy je třeba znát teorii související s bilineárními formami. Důležité poznatky potřebné k úlohám o skalárním součinu jsou shrnuty zde.

  • a) Nápověda – je f skalární součin?

    Ověřte, je-li \(f\) pozitivně definitní symetrická bilineární forma.

    Matice symetrické bilineární formy je symetrická. Nalezněte normální tvar formy. Signatura pozitivně definitní formy musí být \((p,0{,}0),\ p\neq 0\).

  • b) Nápověda – ortogonální a ortonormální báze

    Nalezněte nějakou ortogonální a ortonormální bázi.

    Při úpravě na polární (popř. normální) tvar zaznamenávejte řádkové úpravy. Výsledná transformační matice má v řádcích vektory OG (popř. ON) báze.

  • c) Nápověda – kolmost vektorů

    Určete hodnotu parametru \(a\in\mathbb{R}\) tak, aby vektory \(x,y\) byly na sebe kolmé.

    (i) Kolmé (ortogonální) vektory

    Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem \(f\).

    Vektory \(u,v\in V\) se nazývají kolmé (ortogonální), je-li \(f(x,y)=0.\)

  • d) Nápověda – ortogonální doplňky

    Určete ortogonální doplňky podprostorů \(W_1,W_2,W_3\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\).

    Ortogonální doplněk

    Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

    Ortogonálním doplňkem podprostoru \(W\) prostoru \(V\) budeme rozumět množinu všech vektorů z \(V\), které jsou kolmé na všechny vektory z \(W\).

    Symbolicky

    \[W^\perp = \big\lbrace v\in V;\ f(v,w)=0,\ \forall w \in W \big\rbrace.\]
  • Odpověď

    1. Zadaná bilineární forma \(f\) je skalárním součinem na prostoru \(\mathbb{R}^3\).
    2. Ortogonální a ortonormální báze \[OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0),(0,{}0,{}1) \big\rbrace,\] \[ON = \left\lbrace \left(\tfrac{\sqrt{3}}{3},{}0,{}0\right),\left(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2},{}0\right),(0,{}0,{}1) \right\rbrace,\]
    3. Vektory \(x,y\) jsou kolmé pro \(a\in\lbrace 1,{}4 \rbrace\).
    4. Ortogonální doplňky \[W_1^\perp = \big[ (0,{}1,{}0), (0,{}0,{}1) \big],\] \[W_2^\perp = W_3^\perp = \big[ (0,{}0,{}1) \big].\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze