Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Inverzní matice pomocí determinantu I.

Úloha číslo: 1346

Pomocí determinantu určete inverzní matici ke čtvercové matici \(A\) nad \(\mathbb{Z}_5\).

\[A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix}\]
  • Rozbor

    Máme-li určit inverzní matici k zadané čtvercové matici pomocí determinantu, pak postupujeme stejně jako v úloze Inverzní matice pomocí determinantu.

    Ve stručnosti

    • Vypočítáme \(\det A\) a na základě existence \((\det A)^{-1}\) rozhodneme o invertibilitě matice \(A\) nad zadaným okruhem \(R\). V kladném případě pokračujeme ve výpočtu.
    • Nalezneme determinanty \(A_{ji}\), tedy determinanty matic, které mají vynechaný \(j\)-tý řádek a \(i\)-tý sloupec.
    • Z těchto determinantů správně sestavíme reciprokou matici.
    • Vyjádříme inverzní matici.

    K řešení úlohy je třeba ovládat výpočet determinantů. O výpočtu determinantů pojednává úloha Jak na determinanty.

  • Nápověda 1 – výpočet det A

    Existence prvku \((\det A)^{-1}\) v \(\mathbb{Z}_5\) znamená invertibilitu matice \(A\).

    Vypočtěte determinant matice \(A\). Existuje-li v \(\mathbb{Z}_5\) prvek \((\det A)^{-1}\), určete jej.

  • Nápověda 2 – výpočet dílčích determinantů det Aji

    K sestavení reciproké matice je třeba determinantů matic \(A_{ji}\), které vzniknou vynecháním \(j\)-tých řádků a \(i\)-tých sloupců. Vypočítejte je.
  • Nápověda 3 – sestavení reciproké matice AREC

    Určete jednotlivé prvky \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) a sestavte ji.
  • Nápověda 4 – vyjádření inverzní matice

    Inverzní matice k matici \(A\) je obecně dána výrazem

    \[A^{-1} = (\det A)^{-1} \cdot A_\mathrm{REC}.\]

    Dopočítejte ji!

  • Odpověď

    Inverzní maticí k matici \(A\) nad polem \(\mathbb{Z}_5\) je matice \[A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze