Sbírka řešených úloh

Inverzní matice pomocí determinantu I.

Úloha číslo: 1346

• Rozbor

  Máme-li určit inverzní matici k zadané čtvercové matici pomocí determinantu, pak postupujeme stejně jako v úloze Inverzní matice pomocí determinantu.

  Ve stručnosti

  • Vypočítáme \(\det A\) a na základě existence \((\det A)^{-1}\) rozhodneme o invertibilitě matice \(A\) nad zadaným okruhem \(R\). V kladném případě pokračujeme ve výpočtu.
  • Nalezneme determinanty \(A_{ji}\), tedy determinanty matic, které mají vynechaný \(j\)-tý řádek a \(i\)-tý sloupec.
  • Z těchto determinantů správně sestavíme reciprokou matici.
  • Vyjádříme inverzní matici.

  K řešení úlohy je třeba ovládat výpočet determinantů. O výpočtu determinantů pojednává úloha Jak na determinanty.

• Nápověda 1 – výpočet det A

  Existence prvku \((\det A)^{-1}\) v \(\mathbb{Z}_5\) znamená invertibilitu matice \(A\).

  Vypočtěte determinant matice \(A\). Existuje-li v \(\mathbb{Z}_5\) prvek \((\det A)^{-1}\), určete jej.

• Řešení nápovědy 1 – výpočet det A

  Determinant matice \(A\) můžeme vypočítat úpravou na horní trojúhelníkovou matici. Determinant takové matice pak bude roven součinu prvků na hlavní diagonále.

  \[ \det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 2 \\ \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 3I\\ III + 2I\\ \end{array} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + II\\ \end{array} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}= \] \[ = 3\,\cdot\, 2\, \cdot\, 1 = 1. \]

  Inverzní prvek k \(\det A = 1\) v \(\mathbb{Z}_5\) existuje, je jím \((\det A)^{-1} = 1\).

  Neboť je \(\det A\) na \(\mathbb{Z}_5\) invertibilní, je i matice \(A\) invertibilní. Existuje tedy pro ni nad \(\mathbb{Z}_5\) inverzní matice.

• Nápověda 2 – výpočet dílčích determinantů det A_ji

  K sestavení reciproké matice je třeba determinantů matic \(A_{ji}\), které vzniknou vynecháním \(j\)-tých řádků a \(i\)-tých sloupců. Vypočítejte je.

• Řešení nápovědy 2 – výpočet dílčích determinantů det A_ji

  Vypočítáme determinanty matic \(A_{ji}\), tedy matic vzniklých z matice \(A\) vynecháním \(j\)-tého řádku a \(i\)-tého sloupce.

  \[\color{grey}{ A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 2 \end{pmatrix} }\] \[ \begin{eqnarray} \det A_{11} &=& \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = 1{\cdot} 2 - 4{\cdot} 4 = 1 \\ \det A_{12} &=& \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = 1{\cdot} 2 - 4{\cdot} 4 = 1 \\ \det A_{13} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 4 \\ \end{vmatrix} = 1{\cdot} 4 - 1{\cdot} 4 = 0 \\ \det A_{21} &=& \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = 2{\cdot} 2 - 4{\cdot} 2= 1 \\ \det A_{22} &=& \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = 3{\cdot} 2 - 2{\cdot} 4 = 3 \\ \det A_{23} &=& \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 4 \\ \end{vmatrix}= 3{\cdot} 4- 2{\cdot} 4 = 4 \\ \det A_{31} &=& \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{vmatrix} =2{\cdot} 4 - 2{\cdot} 1 = 1 \\ \det A_{32} &=& \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{vmatrix} = 3{\cdot} 4 - 2{\cdot} 1 = 0 \\ \det A_{33} &=& \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} =3{\cdot} 1 - 2{\cdot} 1 = 1\\ \end{eqnarray} \]

• Nápověda 3 – sestavení reciproké matice A_REC

  Určete jednotlivé prvky \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) a sestavte ji.

• Řešení nápovědy 3 – sestavení reciproké matice A_REC

  Prvek \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) je algebraický doplněk prvku \(a_{ji}\) matice \(A\).

  Vypočítáme jednotlivé prvky reciproké matice, užijeme přitom již vypočítené determinanty matic \(A_{ji}\). \[ \begin{eqnarray} a^\star_{11} &=& (-1)^{1+1} \cdot \det A_{11} = 1 \\ a^\star_{12} &=& (-1)^{1+2} \cdot \det A_{21} = 4 \\ a^\star_{13} &=& (-1)^{1+3} \cdot \det A_{31} = 1 \\ a^\star_{21} &=& (-1)^{2+1} \cdot \det A_{12} = 4 \\ a^\star_{22} &=& (-1)^{2+2} \cdot \det A_{22} = 3 \\ a^\star_{23} &=& (-1)^{2+3} \cdot \det A_{32} = 0 \\ a^\star_{31} &=& (-1)^{3+1} \cdot \det A_{13} = 0 \\ a^\star_{32} &=& (-1)^{3+2} \cdot \det A_{23} = 1 \\ a^\star_{33} &=& (-1)^{3+3} \cdot \det A_{33} = 1 \\ \end{eqnarray} \] Z těchto prvků již reciprokou matici snadno sestavíme. \[ A_\mathrm{REC} = \big(a^\star_{ij}\big) = \begin{pmatrix} a^\star_{11} & a^\star_{12} & a^\star_{13}\\ a^\star_{21} & a^\star_{22} & a^\star_{23}\\ a^\star_{31} & a^\star_{32} & a^\star_{33}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

• Nápověda 4 – vyjádření inverzní matice

  Inverzní matice k matici \(A\) je obecně dána výrazem

  \[A^{-1} = (\det A)^{-1} \cdot A_\mathrm{REC}.\]

  Dopočítejte ji!

• Řešení nápovědy 4 – vyjádření inverzní matice

  S pomocí vypočítaného prvku \((\det A)^{-1}\) a matice \(A_\mathrm{REC}\) dopočítáme inverzní matici \[A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

• Odpověď

  Inverzní maticí k matici \(A\) nad polem \(\mathbb{Z}_5\) je matice \[A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.