Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vlastní vektory I.

Úloha číslo: 1414

Určete charakteristickou matici, charakteristický polynom, vlastní čísla a vlastní vektory matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\).

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -2\\ -4 & 0 & -1\\ \end{pmatrix} \]
  • Rozbor

    Stojíme před stejným úkolem jako v úlohách Základní pojmy, Základní pojmy I.Základní pojmy II., s tím rozdílem, že zde máme navíc určit vlastní vektory, příslušící vlastním číslům matice.

  • Jak na výpočet vlastních vektorů?

    Nenulový vektor příslušící číslu \(\lambda\) je dle definice vektor \(v\) splňující rovnost

    \[Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T},\]

    kde \(^\mathrm{T}\) značí transponování vektoru (aby bylo možné násobit) a \(A\) je udaná matice.

    Ekvivalentní úpravou z této rovnosti plyne \[\lambda v^\mathrm{T} - Av^\mathrm{T}=0.\] Vytknutím \(v^\mathrm{T}\) pak dostaneme \[(\lambda E - A) v^\mathrm{T}=0.\]

    Jak vidíme, vlastní vektor příslušící zvolenému vlastnímu číslu \(\lambda\) lze nalézt jako nenulové řešení homogenní soustavy, jejíž matice soustavy je charakteristická matice, do které jsme dosadili zvolené vlastní číslo.

    Může se stát, že dimenze řešení bude větší jak \(1\). Získáme tak více lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušících danému vlastnímu číslu.

    Je zřejmé, že je-li nějaký vektor vlastním vektorem, je jeho nenulový násobek téže vlastním vektorem.

  • Nápověda 1 – charakteristická matice, polynom, vlastní čísla

    Nalezněte
    • charakteristickou matici,
    • charakteristický polynom,
    • vlastní čísla.

    Charakteristická matice matice \(A\) je matice \(\lambda E - A\).
    Charakteristický polynom je její determinant, tj. \(p(\lambda)=\det (\lambda E -A)\).
    Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu.

    Způsob hledání těchto charakteristik je podrobněji popsán v úlohách Základní pojmy, Základní pojmy I. a Základní pojmy II.

  • Nápověda 2 – vlastní vektory

    Nalezněte vektory příslušící vlastním číslům matice \(A\).

    Vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda\) lze nalézt jako nenulové řešení homogenní soustavy

    \[(\lambda E - A) v^\mathrm{T}=0.\]
  • Odpověď

    Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli
    • charakteristickou matici \( \begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 & 0 \\ 4 & \lambda - 1 & 2\\ 4 & 0 & \lambda +1\\ \end{pmatrix} \),
    • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda - 1)^2(\lambda + 1)\),
    • vlastní čísla \(\lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = -1\),
    • vlastní vektory pro \(\lambda_1\) \(v_1=(1,{}0,-2)\), \(v_2=(0,{}1,{}0)\) a pro \(\lambda_2\) \(u=(0,{}1,{}1)\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze