Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Soustava lineárních rovnic

Úloha číslo: 1388

(i) Soustava lineárních rovnic

Soustavou \(n\) lineárních rovnic o \(m\) neznámých nad polem \(T\) rozumíme

\[ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \dots & + & a_{1m}x_m & = & b_1\\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \dots & + & a_{2m}x_m & = & b_2\\ \vdots & & \vdots & & \cdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \dots & + & a_{nm}x_m & = & b_n\\ \end{array} \quad a_{ij}, b_i \in T \]

Řešením soustavy je vektor: \(\big(x_1,\dots,x_m\big) \in T^m,\) pro který jsou všechny uvedené rovnosti splněny.

Soustava se nazývá

\[ \begin{array}{lll} \mathrm{homogenní}&\Leftrightarrow&b_1=b_2=\ldots=b_n=0,\\ \mathrm{nehomogenní}&\Leftrightarrow&\exists b_i \neq 0,\ i=1{,}2,\ldots,n.\\ \end{array} \]
Úkol:

Pokuste se odvodit podmínky pro řešitelnost soustavy lineárních rovnic a dále určete množinu všech řešení.

  • Zápisy soustavy lineárních rovnic

    Matici s koeficienty \(a_{ij}\) soustavy rovnic nazýváme maticí soustavy

    \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}. \]

    Matici obsahující ve sloupci \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) nazýváme sloupcem pravých stran

    \[ \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \]

    Umístíme-li matici soustavy a sloupec pravých stran vedle sebe do jedné matice, získáme rozšířenou matici soustavy

    \[ \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \,&\, b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} & b_n\\ \end{array} \right). \] Díky zavedeným pojmům lze soustavu lineárních rovnic zapsat následovně \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}, \] symbolicky \[A x^\mathrm{T} = b^\mathrm{T},\] někdy se dokonce znak transponování vynechává a píše se přímo \[A x = b.\]
  • Nápověda 1 – řešitelnost soustavy lineárních rovnic

    Vyjděte z tohohoto zápisu soustavy linerních rovnic \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \]

    Matici na levé straně, která vznikne provedením součinu původních matic, šikovně rozepište v součet násobků \(m\) matic.

    Jak by bylo možné formulovat větu o řešitelnosti pomocí lineární kombinace?

  • Nápověda 2 – množina všech řešení soustavy

    Uvažujte nyní symbolický zápis soustavy lineárních rovnic \[ Ax^\mathrm{T} = b^\mathrm{T}. \] Uvědomte si jeho souvislost s „kouzelným vzorečkem“ \( A\langle x\rangle^T_\mathrm{k.b} = \langle f(x)\rangle^T_\mathrm{k.b} \). Jak vypadá homomorfismus? Co je množina všech řešení?
  • Závěr

    Důležité shrnutí.
    1. Soustava má řešení, je-li \(r\big(A\,|\,b\big) = r\big(A\big)\).

      Dostaneme-li tedy při řešení soustavy například

      \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&7\\ 0&7&2&1\\ 0&0&\color{maroon}{0}&\color{maroon}{3}\\ \end{array} \right), \]

      pak soustava nemá řešení, neboť \(r\big(A\,|\,b\big) = 3\), zatímco \(r\big(A\big) = 2\).

    2. Množinou řešení řešitelné soustavy je libovolné řešení této soustavy + řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze