Sbírka řešených úloh

Soustava lineárních rovnic

Úloha číslo: 1388

• Zápisy soustavy lineárních rovnic

  Matici s koeficienty \(a_{ij}\) soustavy rovnic nazýváme maticí soustavy

  \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}. \]

  Matici obsahující ve sloupci \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) nazýváme sloupcem pravých stran

  \[ \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \]

  Umístíme-li matici soustavy a sloupec pravých stran vedle sebe do jedné matice, získáme rozšířenou matici soustavy

  \[ \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \,&\, b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} & b_n\\ \end{array} \right). \] Díky zavedeným pojmům lze soustavu lineárních rovnic zapsat následovně \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}, \] symbolicky \[A x^\mathrm{T} = b^\mathrm{T},\] někdy se dokonce znak transponování vynechává a píše se přímo \[A x = b.\]

• Nápověda 1 – řešitelnost soustavy lineárních rovnic

  Vyjděte z tohohoto zápisu soustavy linerních rovnic \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \]

  Matici na levé straně, která vznikne provedením součinu původních matic, šikovně rozepište v součet násobků \(m\) matic.

  Jak by bylo možné formulovat větu o řešitelnosti pomocí lineární kombinace?

• Řešení nápovědy 1 – řešitelnost soustavy lineárních rovnic

  Uvažujme následující zápis soustavy lineárních rovnic \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \] Provedením součinu na levé straně zde získáme matici \(n\times 1\) \[ \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1m}x_m\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2m}x_m\\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nm}x_m\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \] Tu lze rozepsat v násobky \(m\) matic \[ \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\\ \end{pmatrix} x_1 + \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{n2}\\ \end{pmatrix} x_2 + \,\ldots\, + \begin{pmatrix} a_{1m}\\ a_{2m}\\ \vdots\\ a_{nm}\\ \end{pmatrix} x_m = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}. \]

  Z tohoto zápisu je zřejmé, že soustava lineárních rovnic je řešitelná právě tehdy, když je sloupec pravých stran lineární kombinací sloupců matice soustavy.

  Uvedené tvrzení je ekvivalentní s Frobeniovou větou.

  Frobeniova věta

  Soustava lineárních rovnic \(Ax=b\) nad polem \(T\) je řešitelná (má alespoň jedno řešení) právě tehdy, když je hodnost rozšířené matice soustavy \(r\big(A\,|\,b\big)\) rovna hodnosti matice soustavy \(r\big(A\big)\).

• Nápověda 2 – množina všech řešení soustavy

  Uvažujte nyní symbolický zápis soustavy lineárních rovnic \[ Ax^\mathrm{T} = b^\mathrm{T}. \] Uvědomte si jeho souvislost s „kouzelným vzorečkem“ \( A\langle x\rangle^T_\mathrm{k.b} = \langle f(x)\rangle^T_\mathrm{k.b} \). Jak vypadá homomorfismus? Co je množina všech řešení?

• Řešení nápovědy 2 – množina všech řešení soustavy

  Uvažujme symbolický zápis soustavy lineárních rovnic

  \[ Ax^\mathrm{T} = b^\mathrm{T}. \]

  Složky obou vektorů odpovídají souřadnicím vůči kanonicé bázi. Lze proto psát

  \[ A\langle x\rangle^T_\mathrm{k.b} = \langle b\rangle^T_\mathrm{k.b}, \tag{1}\]

  což není nic než vzorec udávající homomorfismus, kde

  • matice \(A\) je matice homomorfismu,
  • vektor \(x\) je vzor,
  • vektor \(b\) je obraz.

  Schéma homomorfismu vypadá následovně

  \[ \begin{array}{ccc} ~&f&~\\ T^n & \longleftarrow---- & T^m\\ ^\mathrm{k.b.} & A_{n\times m} & ^\mathrm{k.b.} \\ \end{array} \] Rozepíšeme vztah (1) a uvědomíme si, co máme dáno a co hledáme. \[ \underset{\mathrm{Známe\,(koeficienty)}}{ \begin{pmatrix} \phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}\\ &A&\\ \phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}\\ \end{pmatrix}} \cdot \underset{\mathrm{\color{maroon}{Hledáme!}}}{ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m\\ \end{pmatrix} } = \underset{\mathrm{Známe\,(sloupec\ p.s.)}}{ \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix} } \]

  V řeči homomorfismu tedy hledáme úplný vzor k vektoru \(b = (b_1,b_2,\ldots,b_n)\).

  ---

  Z věty o hodnosti a defektu plyne

  \[ \begin{eqnarray} \mathrm{dim\,}T^m = m = &\mathrm{dim\,Ker\,}f& + r(A),\\ &\mathrm{dim\,Ker\,}f& = m-r(A), \end{eqnarray} \]

  dimenze řešení \(\mathrm{dim\,Ker\,}f\) je tedy počet neznámých mínus počet lineárně nezávislých rovnic (řádků).

  Všechny zmíněné poznatky shrneme do věty.

  O množině všech řešení soustavy

  Nechť \(Ax = b\) je soustava lineárních rovnic nad polem \(T\).

  Množina všech řešení řešitelné soustavy lineárních rovnice \(Ax = b\) je lineární množina \(x_0 + W\), kde \(x_0\) je libovolné řešení soustavy \(Ax = b\) a \(W\) je podprostor všech řešení homogenní soustavy \(Ax=0\). Přitom je \(\mathrm{dim\,}W = m - r(A)\).

• Závěr

  Důležité shrnutí.

  1. Soustava má řešení, je-li \(r\big(A\,|\,b\big) = r\big(A\big)\).

     Dostaneme-li tedy při řešení soustavy například

     \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&7\\ 0&7&2&1\\ 0&0&\color{maroon}{0}&\color{maroon}{3}\\ \end{array} \right), \]

     pak soustava nemá řešení, neboť \(r\big(A\,|\,b\big) = 3\), zatímco \(r\big(A\big) = 2\).

  2. Množinou řešení řešitelné soustavy je libovolné řešení této soustavy + řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.