Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Vektorový prostor IV.
Úloha číslo: 1358
Určete, zda je množina ℘(α) všech podmnožin roviny α={(x,y);x,y∈R}
s operacemi
vektorový prostor.
Rozbor
Rovinu α lze popsat jako množinu bodů. Každému bodu roviny můžeme přiřadit vektor (šipku), která vychází z určitého bodu roviny. Každý bod je dán dvojsložkovým vektorem (x,y). Celá rovina je pak množina bodů daná všemi možnými vektory, tj. α={(x,y);x,y∈R}, jak je zapsáno v zadání.
Geometrická představa roviny je tak nahrazena modelem užívajícím vektorového popisu.
Uvědomíme si, že prvky množiny ℘ jsou všechny podmnožiny roviny α. Prvky těchto podmnožin jsou vektory, které představují jednotlivé body.
Operací sčítání prvků množiny ℘ je standartní operace sjednocení množin. Operace násobení prvků množiny ℘ s prvky pole R pronásobí obě složky všech vektorů dané podmnožiny daným prvkem pole. Pronásobení číslem r∈R geometricky představuje zobrazení množiny bodů ve stejnolehlosti s koeficientem stejnolehlosti r.
Nápověda 1 – „uzavřenost“ na operace
Aby množina ℘ byla vektorovým prostorem nad tělesem R, je třeba aby součet (tj. sjednocení) libovolných dvou prvků množiny ℘ byl opět jejím prvkem. Stejně tak je třeba, aby po provedení operace násobení prvkem r∈R byla podmnožina prvkem množiny ℘.
Je tomu tak?
Nápověda 1 – asociativní zákon
Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \forall\,A,B,C \in \wp(\alpha):\quad (A\oplus B) \oplus C = A \oplus (B\oplus C).Nápověda 2 – komutativní zákon
Prověřte, zda-li platí druhý axiom \forall\,A,B \in \wp(\alpha):\quad A\oplus B = B\oplus A.Nápověda 3 – existence nulového vektoru
Prověřte, zda-li platí třetí axiom \exists \bar{0}\in \wp(\alpha) \quad\forall A\in \wp(\alpha): \qquad \bar{0} \oplus A = A.Tj. existuje nějaký nulový prvek \bar{0} v \wp(\alpha), takový, abych po sjednocení tohoto nulového prvku s libovolným prvkem množiny \wp(\alpha) získal tentýž prvek?
Nápověda 4 - existence opačných vektorů
Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \forall A \in \wp(\alpha) \quad \exists (-\bar{A}) \in \wp(\alpha): \qquad A \oplus (-\bar{A}) = \bar{0}.Tj. existuje pro každý vektor A množiny \wp(\alpha) opačný vektor (-\bar{A}), tavový, že součet vektoru a jeho opačného vektoru dává nulový vektor?
Odpověď
Množina \wp(\alpha) všech podmnožin roviny \alpha s operacemi \oplus, \odot netvoří vektorový prostor nad polem \mathbb{R}.