Sbírka řešených úloh

Vektorový prostor IV.

Úloha číslo: 1358

• Rozbor

  Rovinu $\alpha$ lze popsat jako množinu bodů. Každému bodu roviny můžeme přiřadit vektor (šipku), která vychází z určitého bodu roviny. Každý bod je dán dvojsložkovým vektorem $(x,y)$. Celá rovina je pak množina bodů daná všemi možnými vektory, tj. $\alpha = \lbrace (x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\rbrace$, jak je zapsáno v zadání.

  Geometrická představa roviny je tak nahrazena modelem užívajícím vektorového popisu.

  Uvědomíme si, že prvky množiny $\wp$ jsou všechny podmnožiny roviny $\alpha$. Prvky těchto podmnožin jsou vektory, které představují jednotlivé body.

  Operací sčítání prvků množiny $\wp$ je standartní operace sjednocení množin. Operace násobení prvků množiny $\wp$ s prvky pole $\mathbb{R}$ pronásobí obě složky všech vektorů dané podmnožiny daným prvkem pole. Pronásobení číslem $r\in\mathbb{R}$ geometricky představuje zobrazení množiny bodů ve stejnolehlosti s koeficientem stejnolehlosti $r$.

• Nápověda 1 – „uzavřenost“ na operace

  Aby množina $\wp$ byla vektorovým prostorem nad tělesem $\mathbb{R}$, je třeba aby součet (tj. sjednocení) libovolných dvou prvků množiny $\wp$ byl opět jejím prvkem. Stejně tak je třeba, aby po provedení operace násobení prvkem $r\in\mathbb{R}$ byla podmnožina prvkem množiny $\wp$.

  Je tomu tak?

• Řešení nápovědy 1 – „uzavřenost“ na operace

  Rovina je představována množinou všech vektorů v rovině

  $$\alpha = \big\{ (x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\big\}$$

  Množina, kterou zkoumáme s podezřením na vektorový prostor je

  $$\wp(\alpha)\,\dots\,\mathrm{potenční~množina~množiny~}\alpha.$$

  Potenční množina množiny $\alpha$ je množina všech podmnožin množiny $\alpha$.

  Je zřejmé, že

  • Sjednocením libovolných prvků potenční množiny $\wp(\alpha)$ prvkem $r\in\mathbb{R}$ získáme opět prvek potenční množiny $\wp(\alpha)$. Geometricky – sjednocením libovolných částí roviny $\alpha$ získáme opět část roviny $\alpha$.

  • Pronásobíme-li složky všech vektorů libovolného prvku potenční množiny $\wp(\alpha)$ získáme opět prvek potenční množiny $\wp(\alpha)$. Geometricky – zobrazením části roviny $\alpha$ ve stejnolehlosti v dané rovině získáme opět část roviny $\alpha$.

  Požadavek na uzavřenost je splněn.

• Nápověda 1 – asociativní zákon

  Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom $$\forall\,A,B,C \in \wp(\alpha):\quad (A\oplus B) \oplus C = A \oplus (B\oplus C).$$

• Řešení nápovědy 1 – asociativní zákon

  Na základě udané operace upravíme levou i pravou stranu axiomu.
  Operace $\oplus$ je dána jako množinové sjednocení. Pro všechna $A,B,C$ platí $$\mathrm{L} = (A\oplus B) \oplus C = (A\cup B) \cup C = A \cup B \cup C,$$ $$\mathrm{P} = A\oplus (B \oplus C) = A\cup (B \cup C) = A \cup B \cup C.$$

  Na pořadí sjednocování množin nezáleží. Neboť $\mathrm{L} = \mathrm{P}$, axiom (i) je splněn.

• Nápověda 2 – komutativní zákon

  Prověřte, zda-li platí druhý axiom $$\forall\,A,B \in \wp(\alpha):\quad A\oplus B = B\oplus A.$$

• Řešení nápovědy 2 – komutativní zákon

  Na základě udané operace upravíme levou i pravou stranu axiomu.
  Operace $\oplus$ je dána jako množinové sjednocení. Pro všechna $A,B$ platí $$\mathrm{L} = A \oplus B = A \cup B$$ $$\mathrm{P} = B \oplus A = B \cup A.$$

  Operace sjednocení je komutativní. Proto $\mathrm{L} = \mathrm{P}$ a axiom (ii) je tedy splněn.

• Nápověda 3 – existence nulového vektoru

  Prověřte, zda-li platí třetí axiom $$\exists \bar{0}\in \wp(\alpha) \quad\forall A\in \wp(\alpha): \qquad \bar{0} \oplus A = A.$$

  Tj. existuje nějaký nulový prvek $\bar{0}$ v $\wp(\alpha)$, takový, abych po sjednocení tohoto nulového prvku s libovolným prvkem množiny $\wp(\alpha)$ získal tentýž prvek?

• Řešení nápovědy 3 – existence nulového vektoru

  Hledáme prvek $\bar{0}$ množiny $\wp(\alpha)$ tak aby pro všechny prvky $A$ množiny $\wp(\alpha)$

  $$\bar{0} \oplus A = A.$$

  Operace $\oplus$ představuje množinové sjednocení

  $$\bar{o} \cup A = A.$$

  Nulovému prvku vyhovuje prázdná množina

  $$\bar{0} = \lbrace~\rbrace.$$

  Prázdná množina je prvkem potenční množiny $\wp(\alpha)$. Axiom (iii) je tedy splněn.

• Nápověda 4 - existence opačných vektorů

  Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom $$\forall A \in \wp(\alpha) \quad \exists (-\bar{A}) \in \wp(\alpha): \qquad A \oplus (-\bar{A}) = \bar{0}.$$

  Tj. existuje pro každý vektor $A$ množiny $\wp(\alpha)$ opačný vektor $(-\bar{A})$, tavový, že součet vektoru a jeho opačného vektoru dává nulový vektor?

• Řešení nápovědy 4 – existence opačných vektorů

  Pro každý vektor $A$ množiny $\wp(\alpha)$ máme najít opačný vektor $(-\bar{A})$, tak aby platilo

  $$A \oplus (-\bar{A}) = \lbrace~~\rbrace,$$

  kde jsme dosadili nulový vektor $\bar{0} = \lbrace~\rbrace$ získaný při ověřování předchozího axiomu.

  Operace $\oplus$ představuje množinové sjednocení

  $$A \cup (-\bar{A}) = \lbrace~~\rbrace.$$

  Prvky množiny $\wp(\alpha)$ nemají kromě nulového vektoru opačné vektory.

  Axiom (iv) není splněn. Ověřování dalších axiomů již netřeba.

• Odpověď

  Množina $\wp(\alpha)$ všech podmnožin roviny $\alpha$ s operacemi $\oplus, \odot$ netvoří vektorový prostor nad polem $\mathbb{R}$.