Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vektorový prostor IV.

Úloha číslo: 1358

Určete, zda je množina \(\wp(\alpha)\) všech podmnožin roviny \(\alpha=\big\{ (x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\big\} \)
s operacemi

\[ \begin{eqnarray} A\oplus B & = & A \cup B\\ r\odot A & = & \big\{ (rx,ry);(x,y)\in A\big\},~\mathrm{kde}~r\in \mathbb{R} \end{eqnarray} \]

vektorový prostor.

  • Rozbor

    Rovinu \(\alpha\) lze popsat jako množinu bodů. Každému bodu roviny můžeme přiřadit vektor (šipku), která vychází z určitého bodu roviny. Každý bod je dán dvojsložkovým vektorem \((x,y)\). Celá rovina je pak množina bodů daná všemi možnými vektory, tj. \(\alpha = \lbrace (x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\rbrace\), jak je zapsáno v zadání.

    Geometrická představa roviny je tak nahrazena modelem užívajícím vektorového popisu.

    Uvědomíme si, že prvky množiny \(\wp\) jsou všechny podmnožiny roviny \(\alpha\). Prvky těchto podmnožin jsou vektory, které představují jednotlivé body.

    Operací sčítání prvků množiny \(\wp\) je standartní operace sjednocení množin. Operace násobení prvků množiny \(\wp\) s prvky pole \(\mathbb{R}\) pronásobí obě složky všech vektorů dané podmnožiny daným prvkem pole. Pronásobení číslem \(r\in\mathbb{R}\) geometricky představuje zobrazení množiny bodů ve stejnolehlosti s koeficientem stejnolehlosti \(r\).

  • Nápověda 1 – „uzavřenost“ na operace

    Aby množina \(\wp\) byla vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), je třeba aby součet (tj. sjednocení) libovolných dvou prvků množiny \(\wp\) byl opět jejím prvkem. Stejně tak je třeba, aby po provedení operace násobení prvkem \(r\in\mathbb{R}\) byla podmnožina prvkem množiny \(\wp\).

    Je tomu tak?

  • Nápověda 1 – asociativní zákon

    Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,A,B,C \in \wp(\alpha):\quad (A\oplus B) \oplus C = A \oplus (B\oplus C).\]
  • Nápověda 2 – komutativní zákon

    Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,A,B \in \wp(\alpha):\quad A\oplus B = B\oplus A.\]
  • Nápověda 3 – existence nulového vektoru

    Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists \bar{0}\in \wp(\alpha) \quad\forall A\in \wp(\alpha): \qquad \bar{0} \oplus A = A.\]

    Tj. existuje nějaký nulový prvek \(\bar{0}\) v \(\wp(\alpha)\), takový, abych po sjednocení tohoto nulového prvku s libovolným prvkem množiny \(\wp(\alpha)\) získal tentýž prvek?

  • Nápověda 4 - existence opačných vektorů

    Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \[\forall A \in \wp(\alpha) \quad \exists (-\bar{A}) \in \wp(\alpha): \qquad A \oplus (-\bar{A}) = \bar{0}.\]

    Tj. existuje pro každý vektor \(A\) množiny \(\wp(\alpha)\) opačný vektor \((-\bar{A})\), tavový, že součet vektoru a jeho opačného vektoru dává nulový vektor?

  • Odpověď

    Množina \(\wp(\alpha)\) všech podmnožin roviny \(\alpha\) s operacemi \(\oplus, \odot\) netvoří vektorový prostor nad polem \(\mathbb{R}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze