Sbírka řešených úloh

Pýthagorova věta

Úloha číslo: 1439

Dokažte následující větu.

Pýthagorova věta

Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

Pro každé dva kolmé vektory \(x,y\in V\) platí

\[ \lVert x + y \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2.\]

• Strategie

  Na levé straně rovnosti je norma vektoru \(x+y\). Přepište ji dle definice pomocí skalárního součinu. Dále užijte linearity a symetrie skalárního součinu. Nezapomeňte, že vektory \(x,y\) jsou kolmé.

• Důkaz

  Normu na levé straně rovnosti přepíšeme dle definice \[\lVert x + y \rVert^2 = f(x+y,x+y).\] Užijeme linearity a symetrie skalárního součinu \(f\) \[\lVert x + y \rVert^2 = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y).\] „Identifikujeme“ druhé mocniny norem vektorů \(x,y\) na pravé straně \[\lVert x + y \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + 2{f(x,y)} + \lVert y \rVert^2.\] Vektory \(x,y\) jsou kolmé, jejich skalární součin \(f(x,y)\) je nulový \[\lVert x + y \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + 2\underbrace{f(x,y)}_{=0} + \lVert y \rVert^2.\] \[\lVert x + y \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2.\] \[\square\]