Sbírka řešených úloh

Vlastnosti Bilineární formy I.

Úloha číslo: 1466

• Rozbor

  Již víme, co si představit pod pojmy Analytické vyjádření k duální bázi a Analytické vyjádření bilineární formy I.. Nyní si ukážeme některé základní vlasntosti bilineární formy.

  Hodnost Bilineární formy

  Nechť $f$ je bilineární forma na prostoru $V$ dimenze $n$ a  $A$ matice řádu $n$ jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi $M$, pak hodností $rf$ formy $f$ rozumíme hodnost její matice $A$.

  Určení hodnosti formy $f$ tedy přechází na určení hodnosti její matice $A$.(Hodnost matice).

  Defekt Bilineární formy

  Nechť $f$ je bilineární forma na prostoru $V$ dimenze $n$ a  $A$ matice řádu $n$ jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi $M$, pak jestliže $m$ je hodnost formy $f$, defektem $df$ rozumíme $df=n-m$ nebo také hodnost nulového prostoru matice $A$.

  Pro určení defektu tedy postačí určit hodnost formy, defekt následně určíme jako $d=n-m$.

  Levý vrchol

  Nechť $f$ je bilineární forma na prostoru $V$ dimenze $n$ a  $A$ matice řádu $n$ jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi $M$, pak levým vrcholem $Lf$ formy $f$ rozumíme:

  $$Lf=\{ x \in V; \forall y \in V f(x,y) = 0 \}$$

  Hledání $Lf$ přechází na řešení:

  $$Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M =0 \}$$

  Nezáleží na volbě $y$.

  Pravý vrchol

  Nechť $f$ je bilineární forma na prostoru $V$ dimenze $n$ a  $A$ matice řádu $n$ jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi $M$, pak pravým vrcholem $Rf$ formy $f$ rozumíme:

  $$Rf=\{ y \in V; \forall x \in V f(x,y) = 0 \}$$

  Hledání $Pf$ přechází na řešení:

  $$Lf= \{ y\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}}_M =0 \}$$

  Nezáleží na volbě $x$.

  Poznámka

  Musí platit že $df=\dim{Lf}=\dim{Rf}$

• Nápověda - Matice formy

  Napište matici analytického vyjádření bilineární formy $f$ vzhledem ke kanonické bázi.

• Nápověda - Matice formy -řešení

  Bilineární forma na prostoru $\mathbb{R}^3$ má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:

  $$f(x,y) = 2x_1y_1 - 1x_1y_1+1x_1y_3+ x_2y_2-3x_2y_3 -3x_3y_1+2x_3y_2-3x_3y_3$$

  indexy u $x$, $y$ v jednotlivých členech sumy udávají souřadnice dílčích koeficientů v řádích a sloupcích matice, proto matice formy $A$ bude vypadat následovně:

  $$A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -3\\ -3 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$

• Nápověda - hodnost formy a defekt

  Hodnost formy $rf$ dle teorie odpovídá hodnosti matice jejího analytického vyjádření $A$ a její defekt pak hodnosti nulového prostoru matice $A$

• Nápověda - hodnost formy - řešení

  Vzhledem ke skutečnosti, že hodnost formy odpovídá hodnosti její matice, uveďme nyní matici $A$ formy $f$ do řádkově odstupňovaného tvaru, kde bude hodnost $A$ patrná na první pohled (bude odpovídat počtu nenulových řádků).

  $$\left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \,&\, \\ 0 & 1 & -3 & \\ -3 & 2 & -3 & \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ III+3I\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ III-II\\ \\ \end{array} \sim$$ $$sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

  Vidíme, že počet nenulových řádků je dva a tedy hodnost $f$ je 2.

  Z teorie dále víme, že platí $rf+df=n$, kde $n=3$ udává dimenzi prostoru, na němž je forma $f$ zadána. Pro defekt tedy platí:

  $$df=3-rf=3-2=1$$

  Poznámka: Defekt můžeme také určit jako počet nulovách řádků matice $A$.

• Nápověda - Levý vrchol

  Levý vrchol formy $f$ určíme, v souladu s rozborem úlohy, jako řešení soustavy

  $$Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}$$

  Povšimněme si, že nezáleží na volbě $y$, hledáme $x$ nulující matici $A^{\mathrm{T}}$.

• Nápověda - Levý vrchol - řešení

  Nalezení Levého vrcholu $Lf$ formy $f$ spočívá v  nalezení řešení soustavy:

  $$Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}$$

  Matici $A^{\mathrm{T}}$ nejprve uvedeme do řádkově odstupňovaného tvaru:

  $$A^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ 2II\\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -2 & 2 & 4\\ 2 & -6 & -6 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} II+I\\ III-I\\ \\ \end{array} \sim$$ $$\sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & -6 & -3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} III+3II\\ \\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array}$$

  poté odstupňovanou matici dosadíme do rovnosti a získáme

  $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0$$

  Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:

  $$z=2$$ $$y=-1$$ $$x=3$$

  z čehož plyne, že $Lf$ je lineárním obalem vektoru $(3,-1{,}2)$.

• Nápověda - Pravý vrchol

  Pravý vrchol formy $f$ určíme, v souladu s rozborem úlohy, jako řešení soustavy

  $$Rf= \{ y\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}$$

  Povšimněme si, že nezáleží na volbě $x$, hledáme $y$ nulující matici $A$.

• Nápověda - Pravý vrchol - řešení

  Nalezení Pravého vrcholu $Rf$ formy $f$ spočívá v  nalezení řešení soustavy:

  $$Rf= \{ x\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}$$

  Matici $A$ nejprve uvedeme do řádkově odstupňovaného tvaru:

  $$\left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \,&\, \\ 0 & 1 & -3 & \\ -3 & 2 & -3 & \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ III+3I\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ III-II\\ \\ \end{array} \sim$$ $$\sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

  poté odstupňovanou matici dosadíme do rovnosti a získáme

  $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0$$

  Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:

  $$z=1$$ $$y=3$$ $$x=1$$

  z čehož plyne, že $Rf$ je lineárním obalem vektoru $(1{,}3,1)$.

• Řešení

  Vzhledem ke skutečnosti, že hodnost formy odpovídá hodnosti její matice, uveďme nyní matici $A$ formy $f$ do řádkově odstupňovaného tvaru, kde bude hodnost $A$ patrná na první pohled (bude odpovídat počtu nenulových řádků).

  $$\left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \,&\, \\ 0 & 1 & -3 & \\ -3 & 2 & -3 & \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ III+3I\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ III-II\\ \\ \end{array} \sim$$ $$\sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

  Vidíme, že počet nenulových řádků je dva a tedy hodnost $f$ je 2.

  Z teorie dále víme, že platí $rf+df=n$, kde $n=3$ udává dimenzi prostoru, na němž je forma $f$ zadána. Pro defekt tedy platí:

  $$df=3-rf=3-2=1$$

  Poznámka: Defekt můžeme také určit jako počet nulovách řádků matice $A$.

  Nalezení Levého vrcholu $Lf$ formy $f$ spočívá v  nalezení řešení soustavy:

  $$Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}$$

  Matici $A^{\mathrm{T}}$ nejprve uvedeme do řádkově odstupňovaného tvaru:

  $$A^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ 2II\\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -2 & 2 & 4\\ 2 & -6 & -6 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} II+I\\ III-I\\ \\ \end{array} \sim$$ $$\sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & -6 & -3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} III+3II\\ \\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array}$$

  poté odstupňovanou matici dosadíme do rovnosti a získáme

  $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0$$

  Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:

  $$z=2$$ $$y=-1$$ $$x=3$$

  z čehož plyne, že $Lf$ je lineárním obalem vektoru $(3,-1{,}2)$.

  Nalezení Pravého vrcholu $Rf$ formy $f$ spočívá v  nalezení řešení soustavy:

  $$Rf= \{ x\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}$$

  Řádkově odstupňovanou matici $A$ dosadíme do rovnosti a získáme

  $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0$$

  Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:

  $$z=1$$ $$y=3$$ $$x=1$$

  z čehož plyne, že $Rf$ je lineárním obalem vektoru $(1{,}3,1)$.