Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Algebraické struktury a binární operace

Úloha číslo: 1294

(i) Algebraické struktury, binární operace

Binární operací na množině \(M\) rozumíme zobrazení \(f:M\times M \to M\).

Nechť \(M\) je množina se dvěma binárními operacemi „\(+\)“ a „\(\cdot\)“. Platí-li následující vlastnosti

\[ \begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array} \]

zveme algebraickou strukturu \((M;+,\cdot)\) komutativním tělesem (polem).

Platí-li axiomy
  • (i) až (v) a (ix) – pak je \((M;+,\cdot)\) okruh,
  • (i) až (vi) a (ix) – pak je \((M;+,\cdot)\) komutativní okruh,
  • (i) až (vii) a (ix) – pak je \((M;+,\cdot)\) kom. okruh s jednotk. prvkem,
  • (i) až (vii), (ix), (x) – pak je \((M;+,\cdot)\) obor integrity.

Vlastnosti uvedené v definici nazýváme následovně:

(i) asociativní zákon sčítání,
(ii) komutativní zákon sčítání,
(iii) existence neutrálního (nulového) prvku vzhledem ke sčítání,
(iv) existence opačných prvků,
(v) asociativní zákon násobení,
(vi) komutativní zákon násobení,
(vii) existence neutrálního (jednotkového) prvku vzhledem k násobení,
(viii) existence inverzních prvků,
(ix) distributivní zákony [svazová vlastnost obou operací],
(x) neexistence netriviálních dělitelů nuly.
(ii) Grupy

Strukturu s binární operací sčítání/násobení, která je na tuto operaci uzavřená (tj. výsledek operace je opět prvkem této struktury), která splňuje vlastnosti (i),(iii),(iv) / (v),(vii),(viii) nazýváme sčítací/násobící grupou. V případě, že tato struktura dále splňuje vlastnost (ii)/(vi), nazýváme ji grupou Abelovskou.

Máme-li vyšetřovat strukturu s jedinou binární operací, pak namísto distributivního zákonu vyšetřujeme tzv. zákony krácení – viz níže.

(iii) Zákony krácení pro operaci *
  1. Zákon krácení zleva: \[\forall a,b,c \in M:\qquad (a*b)∧(a*c)⇒(b=c).\]
  2. Zákon krácení zprava: \[\forall a,b,c \in M:\qquad (a*c)∧(b*c)⇒(b=a).\]

Operace * může představovat jak operaci sčítání, tak operací násobení.

Úkol:

Určete, jakou algebraickou strukturu tvoří celá čísla se standartně definovanými operacemi sčítání a násobení. Strukturu zapisujeme \((\mathbb{Z};+,\cdot)\)

  • Rozbor

    Postup při vyšetřování algebraických struktur

    1. Ověřte, zda jsou zadané operace na množině operacemi binárními.
    2. Zjistěte, které z uvedených vlastnosti (i) až (x) tyto operace splňují (při postupu zachovejte uvedenou posloupnost, značně vám to usnadní práci, protože například neplatí–li komutativita, pak nejsou jednoznačně určeny inverzní prvky).

  • Nápověda 1 – binární operace

    Rozhodněte, zda jsou operace sčítání a násobení binárními na celých číslech.
  • Nápověda 2 – vlastnosti

    Zjistěte, které z uvedených vlastností (i) až (x) platí a rozhodněte, jakou algebraickou strukturu struktura \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) tvoří.
  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Nejprve zjistíme, zda-li je množina na obě operace uzavřená, tj. zda-li platí

    1. \(a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a+b=c\in\mathbb{Z},\)
    2. \(a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a\cdot b=c\in\mathbb{Z}.\)

    Jak z vlastní zkušenosti víme, tak obě vlastnosti v rámci celých čísel platí, neboť součtem dvou celých čísel je opět číslo celé a součinem dvou celých čísel je opět taktéž číslo celé.

    Můžeme tedy říci, že operace \(+,\cdot\) jsou binárními operacemi na množině \(\mathbb{Z}\).

    Dále vyšetříme, které z vlastností (i) až (x) platí.

    \[\begin{array}{rl@{\quad}rcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]
    • Vlastnost (i) a (ii) pro sčítání celých čísel zjevně platí.

    • Vlastnost (iii) nastavuje požadavek existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání. Tento prvek v \(\mathbb{Z}\) existuje. Je jím \(0\). Vlastnost je splněna.

    • Vlastnost (iv), představující existenci opačných prvků, je pro celá čísla také splněna.

    • Vlastnost (v) a (vi) pro násobení celých čísel zjevně platí.

    • Vlastnost (vii) nastavuje požadavek existence neutrálního prvku vzhledem k násobení. Tento prvek v \(\mathbb{Z}\) existuje. Je jím \(1\).

    • Vlastnost (viii) není splněna. Inverzní prvky existují pouze pro čísla \(1\) a \(-1\), ostatní celá čísla nemají inverzní prvky!

    • Vlastnost (ix) představující distributivní zákony v celých číslech evidentně platí.

    • Vlastnost (x) zjevně platí, v celých číslech neexistují netriviální dělitelé nuly.

    O algebraické struktuře \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) tedy můžeme prohlásit že

    1. Je okruhem, neboť platí (i) až (v).
    2. Je komutativním okruhem, neboť platí (i) až (vi).
    3. Je komut. okruhem s jednotkovým prvkem, neboť platí (i) až (vii).
    4. Je oborem integrity, neboť platí (i) až (vii), (ix), (x).

    Strukturu \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) postačí označit oborem integrity, neboť je ze všech pojmenování „nejsilnější“..

  • Odpověď

    Struktura \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) je oborem integrity.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze