Sbírka řešených úloh

Algebraické struktury a binární operace

Úloha číslo: 1294

• Rozbor

  Postup při vyšetřování algebraických struktur

  1. Ověřte, zda jsou zadané operace na množině operacemi binárními.
  2. Zjistěte, které z uvedených vlastnosti (i) až (x) tyto operace splňují (při postupu zachovejte uvedenou posloupnost, značně vám to usnadní práci, protože například neplatí–li komutativita, pak nejsou jednoznačně určeny inverzní prvky).

• Nápověda 1 – binární operace

  Rozhodněte, zda jsou operace sčítání a násobení binárními na celých číslech.

• Řešení nápovědy 1 – binární operace

  Aby byly operace binární, musí na ně být množina uzavřená, tj. musí platit

  1. \(a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a+b=c\in\mathbb{Z},\)
  2. \(a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a\cdot b=c\in\mathbb{Z}.\)

  Jak z vlastní zkušenosti víme, tak obě vlastnosti v rámci celých čísel platí, neboť součtem dvou celých čísel je opět číslo celé a součinem dvou celých čísel je opět taktéž číslo celé.

  Můžeme tedy říci, že operace \(+,\cdot\) jsou binárními operacemi na množině \(\mathbb{Z}\).

• Nápověda 2 – vlastnosti

  Zjistěte, které z uvedených vlastností (i) až (x) platí a rozhodněte, jakou algebraickou strukturu struktura \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) tvoří.

• Řešení nápovědy 2 – vlastnosti

  Nejprve vyšetříme, které z vlastností (i) až (x) platí.

  \[\begin{array}{rl@{\quad}rcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]

  • Vlastnost (i) a (ii) pro sčítání celých čísel zjevně platí.

  • Vlastnost (iii) nastavuje požadavek existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání. Tento prvek v \(\mathbb{Z}\) existuje. Je jím \(0\). Vlastnost je splněna.

  • Vlastnost (iv), představující existenci opačných prvků, je pro celá čísla také splněna.

  • Vlastnost (v) a (vi) pro násobení celých čísel zjevně platí.

  • Vlastnost (vii) nastavuje požadavek existence neutrálního prvku vzhledem k násobení. Tento prvek v \(\mathbb{Z}\) existuje. Je jím \(1\).

  • Vlastnost (viii) není splněna. Inverzní prvky existují pouze pro čísla \(1\)
    a \(-1\), ostatní celá čísla nemají inverzní prvky!

  • Vlastnost (ix) představující distributivní zákony v celých číslech evidentně platí.

  • Vlastnost (x) zjevně platí, v celých číslech neexistují netriviální dělitelé nuly.

  O algebraické struktuře \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) tedy můžeme prohlásit že

  1. Je okruhem, neboť platí (i) až (v).
  2. Je komutativním okruhem, neboť platí (i) až (vi).
  3. Je komut. okruhem s jednotkovým prvkem, neboť platí (i) až (vii).
  4. Je oborem integrity, neboť platí (i) až (vii), (ix), (x).

  Strukturu \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) postačí označit oborem integrity, neboť je ze všech pojmenování „nejsilnější“.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Nejprve zjistíme, zda-li je množina na obě operace uzavřená, tj. zda-li platí

  1. \(a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a+b=c\in\mathbb{Z},\)
  2. \(a,b\in\mathbb{Z} \Rightarrow a\cdot b=c\in\mathbb{Z}.\)

  Jak z vlastní zkušenosti víme, tak obě vlastnosti v rámci celých čísel platí, neboť součtem dvou celých čísel je opět číslo celé a součinem dvou celých čísel je opět taktéž číslo celé.

  Můžeme tedy říci, že operace \(+,\cdot\) jsou binárními operacemi na množině \(\mathbb{Z}\).

  Dále vyšetříme, které z vlastností (i) až (x) platí.

  \[\begin{array}{rl@{\quad}rcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]

  • Vlastnost (i) a (ii) pro sčítání celých čísel zjevně platí.

  • Vlastnost (iii) nastavuje požadavek existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání. Tento prvek v \(\mathbb{Z}\) existuje. Je jím \(0\). Vlastnost je splněna.

  • Vlastnost (iv), představující existenci opačných prvků, je pro celá čísla také splněna.

  • Vlastnost (v) a (vi) pro násobení celých čísel zjevně platí.

  • Vlastnost (vii) nastavuje požadavek existence neutrálního prvku vzhledem k násobení. Tento prvek v \(\mathbb{Z}\) existuje. Je jím \(1\).

  • Vlastnost (viii) není splněna. Inverzní prvky existují pouze pro čísla \(1\) a \(-1\), ostatní celá čísla nemají inverzní prvky!

  • Vlastnost (ix) představující distributivní zákony v celých číslech evidentně platí.

  • Vlastnost (x) zjevně platí, v celých číslech neexistují netriviální dělitelé nuly.

  O algebraické struktuře \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) tedy můžeme prohlásit že

  1. Je okruhem, neboť platí (i) až (v).
  2. Je komutativním okruhem, neboť platí (i) až (vi).
  3. Je komut. okruhem s jednotkovým prvkem, neboť platí (i) až (vii).
  4. Je oborem integrity, neboť platí (i) až (vii), (ix), (x).

  Strukturu \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) postačí označit oborem integrity, neboť je ze všech pojmenování „nejsilnější“..

• Odpověď

  Struktura \((\mathbb{Z};+,\cdot)\) je oborem integrity.