Sbírka řešených úloh

Množina generátorů

Úloha číslo: 1364

• Rozbor

  Má-li množina M generovat vektorový prostor \(V=\left[N\right]\), pak má platit

  \[\left[M\right] = V = \left[N\right].\]

  Prokázání rovnosti \(\left[M\right] = \left[N\right]\) zahrnuje ověření inkluzí

  1. \(\left[M\right] \subset \left[N\right],\)
  2. \(\left[M\right] \supset \left[N\right].\)

• Nápověda 1 – ověření inkluze [M] ⊂ [N]

  Nejprve ověřte první inkluzi \(\left[M\right] \subset \left[N\right]\). Každý vektor množiny \(M\) musí patřit do lineárního obalu množiny \(N\). Tj. každý vektor množiny \(M\) musí být lineární kombinací vektorů množiny \(N\). Proveďte.

• Řešení nápovědy 1 – ověření inkluze [M] ⊂ [N]

  Vektory množiny \(M\) musí být v lineárním obalu množiny \(N\), tj. každý z nich musí být lineární kombinací (libovolnou, je-li více možností) vektorů z \(N\).

  Musí tedy existovat taková \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\in \mathbb{R}\), že \[ \begin{eqnarray} (0,\phantom{-}2,-3) = a_1 (1,-3{,}2) + b_1(-2{,}4,-1) + c_1 (3,-5{,}0),\\ (1,-1,-1) = a_2 (1,-3{,}2) + b_2(-2{,}4,-1) + c_2 (3,-5{,}0).\\ \end{eqnarray} \] Drobnou úpravou a zapsáním vektorů do sloupců získáváme vektorové rovnice \[ \begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\ -3 \\ \phantom{-}2 \end{pmatrix} a_1 + \begin{pmatrix}-2 \\ \phantom{-}4 \\ -1 \end{pmatrix} b_1 + \begin{pmatrix}\phantom{-}3 \\ -5 \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} c_1 = \begin{pmatrix}\phantom{-}0 \\ \phantom{-}2 \\ -3 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\ -3 \\ \phantom{-}2 \end{pmatrix} a_2 + \begin{pmatrix}-2 \\ \phantom{-}4 \\ -1 \end{pmatrix} b_2 + \begin{pmatrix}\phantom{-}3 \\ -5 \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} c_2 = \begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \] což jsou vlastně dvě soustavy lineárních rovnic \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 &3 \\ -3 & 4 &-5 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} \right) \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ \phantom{-}2 \\ -3 \end{pmatrix}, \] \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 &3 \\ -3 & 4 &-5 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} \right) \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}. \] Matice soustavy obou soustav je stejná, můžeme proto obě soustavy řešit „dohromady“, tj. budeme mít dva sloupce pravých stran. \[ \left( \begin{array}{rrr|rr} 1 & -2 &3 & 0 & 1\\ -3 & 4 &-5& 2 & -1\\ 2 & -1 & 0&-3 & -1 \end{array} \right) \]

  Mohli bychom hledat konkrétní řešení, ale to nepotřebujeme. Postačí, když budeme vědět, že řešení existují. K tomu nám poslouží Frobeniova věta. Ta říká, že soustava lineárních rovnic má řešení, jestliže rovnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.

  Nalezněme odstupňovaný tvar matice (viz Gaussův eliminační algoritmus), z něhož pak snadno „uvidíme“ příslušné hodnosti.

  \[ \left( \begin{array}{rrr|rr} 1 & -2 &3 & 0 & 1\\ -3 & 4 &-5& 2 & -1\\ 2 & -1 & 0&-3 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{0}\\ \mathrm{II+3I}\\ \mathrm{III-2I} \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rr} 1 & -2 & 3 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 4 & 2 & 2\\ 0 & 3 &-6 &-3 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{0}\\ \mathrm{II/2}\\ \mathrm{III/3} \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rr} 1 & -2 & 3 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 1 &-2 &-1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \mathrm{III+II} \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rr} 1 & -2 & 3 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right). \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \mathrm{III+II} \end{array} \sim } \]

  Hodnost matice soustavy je \(2\), hodnost rozšířené matice soustavy prvním (resp. druhým) sloupcem pravých stran je také \(2\), tj. existuje řešení – koeficienty \(a_1,b_1,c_1\) (resp. \(a_2,b_2,c_2\)).

  Vektory množiny \(M\) patří do lineárního obalu množiny \(N\), neboť je lze napsat jako lineární kombinaci vektorů \(N\). Do \(\left[N\right]\) tedy patří i jejich libovolné součty a násobky, tj. jejich libovolná lineární kombinace – tedy lineární obal \(\left[M\right]\). První inkluze \(\left[M\right] \subset \left[N\right]\) platí.

• Nápověda 2 – ověření inkluze [M] ⊃ [N]

  Nyní ověřte druhou inkluzi \(\left[M\right] \supset \left[N\right]\). Každý vektor množiny \(N\) musí patřit do lineárního obalu množiny \(M\). Tj. každý vektor množiny \(N\) musí být lineární kombinací vektorů množiny \(M\). Ověřte.

• Řešení nápovědy 2 – ověření inkluze [M] ⊃ [N]

  Vektory množiny \(N\) musí být v lineárním obalu množiny \(M\), tj. musí být lineárními kombinacemi vektorů z \(M\).

  Musí tedy existovat taková \(a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3 \in \mathbb{R}\), že \[ \begin{eqnarray} (1,−3{,}2) = a_1 (0{,}2,−3) + b_1 (1,−1,−1) \\ (−2{,}4,−1) = a_2 (0{,}2,−3) + b_2 (1,−1,−1) \\ (3,−5{,}0) = a_3 (0{,}2,−3) + b_3 (1,−1,−1). \end{eqnarray} \] což opět (viz předchozí část) představuje trojici soustav lineárních rovnic, kterou zapíšeme „hromadně“, tj. rozšířená matice soustavy bude mít „přilepené“ tři sloupce pravých stran. \[ \left( \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1& -2 & 3\\ 2 &-1 &-3& 4 & -5\\ -3&-1 & 2& -1 & 0 \end{array} \right) \]

  Obdobně jako v předchozí části nás zajímá pouze existence řešení této trojice soustav lineárních rovnic, kterou zjistíme použitím Frobeniovy věty

  Nalezněme odstupňovaný tvar matice (viz Gaussův eliminační algoritmus), z něhož pak snadno „uvidíme“ příslušné hodnosti.

  \[ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \uparrow\\ \phantom{I} \end{array} \left( \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1& -2 & 3\\ 2 &-1 &-3& 4 & -5\\ -3&-1 & 2& -1 & 0 \end{array}\right) \begin{array}{l} \downarrow\\ \phantom{II}\\ \mathrm{2III+3II} \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{rr|rrr} 2 &-1 &-3& 4 & -5\\ 0 & 1 & 1& -2 & 3\\ 0 &-5 &-5& 10 & -15 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \mathrm{III/5+II} \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{rr|rrr} 2 &-1 &-3& 4 & -5\\ 0 & 1 & 1& -2 & 3\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 \end{array}\right). \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \mathrm{III/5+II} \end{array}} \]

  Hodnost matice soustavy je \(2\), hodnost rozšířené matice soustavy prvním (resp. druhým, resp. třetím) sloupcem pravých stran je také \(2\), tj. existuje řešení – koeficienty \(a_1,b_1\) (resp. \(a_2,b_2\), resp. \(a_3,b_3\)).

  Vektory množiny \(N\) patří do lineárního obalu množiny \(M\), neboť je lze napsat jako lineární kombinaci vektorů \(M\). Do \(\left[M\right]\) tedy patří i jejich libovolné součty a násobky, tj. jejich libovolná lineární kombinace – tedy lineární obal \(\left[N\right]\). Druhá inkluze \(\left[M\right] \supset \left[N\right]\) platí.

• Odpověď

  Množina \(M = \lbrace (0{,}2,-3),(1,-1,-1)\rbrace \subset \mathbb{R}^3\) generuje vektorový prostor \(V = \left[N\right]\), kde \(N = \lbrace (1,-3{,}2),(-2{,}4,-1),(3,-5{,}0)\rbrace \subset \mathbb{R}^3.\)

• Poznámka

  V této úloze ještě „neznáme“ pojem báze a vše řešíme z definice množiny generátorů. Proto je řešení poměrně dost nepříjemné. Pokud již tento pojem znáte, můžete se pokusit úlohu vyřešit elegantněji!