Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Množina generátorů

Úloha číslo: 1364

Pojem množiny generátorů je zaveden následující definicí.
(i) Množina generátorů

Množinou generátorů prostoru \(V\) budeme rozumět každou podmnožinu \(M\) prostoru \(V\), jejíž lineární obal je celý prostor \(V\). \(\left(\left[M\right]=V\right).\)

Říkáme také, že \(M\) generuje \(V\).

Poznámka: V zápise \(\left[\{ v_1,\dots,v_k\}\right]\) obvykle složené závorky vynecháváme a píšeme pouze \(\left[v_1,\dots,v_k\right]\).

Úkol:

Na základě uvedené definice a znalosti lineárního obalu rozhodněte, zda množina \(M\) generuje vektorový prostor \(V = \left[N\right].\) \[ \begin{eqnarray} M &=& \big\{ (0{,}2,-3),(1,-1,-1)\big\} \subset \mathbb{R}^3\\ N &=& \big\{ (1,-3{,}2),(-2{,}4,-1),(3,-5{,}0)\big\} \subset \mathbb{R}^3\\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    Má-li množina M generovat vektorový prostor \(V=\left[N\right]\), pak má platit

    \[\left[M\right] = V = \left[N\right].\]

    Prokázání rovnosti \(\left[M\right] = \left[N\right]\) zahrnuje ověření inkluzí

    1. \(\left[M\right] \subset \left[N\right],\)
    2. \(\left[M\right] \supset \left[N\right].\)
  • Nápověda 1 – ověření inkluze [M] ⊂ [N]

    Nejprve ověřte první inkluzi \(\left[M\right] \subset \left[N\right]\). Každý vektor množiny \(M\) musí patřit do lineárního obalu množiny \(N\). Tj. každý vektor množiny \(M\) musí být lineární kombinací vektorů množiny \(N\). Proveďte.
  • Nápověda 2 – ověření inkluze [M] ⊃ [N]

    Nyní ověřte druhou inkluzi \(\left[M\right] \supset \left[N\right]\). Každý vektor množiny \(N\) musí patřit do lineárního obalu množiny \(M\). Tj. každý vektor množiny \(N\) musí být lineární kombinací vektorů množiny \(M\). Ověřte.
  • Odpověď

    Množina \(M = \lbrace (0{,}2,-3),(1,-1,-1)\rbrace \subset \mathbb{R}^3\) generuje vektorový prostor \(V = \left[N\right]\), kde \(N = \lbrace (1,-3{,}2),(-2{,}4,-1),(3,-5{,}0)\rbrace \subset \mathbb{R}^3.\)
  • Poznámka

    V této úloze ještě „neznáme“ pojem báze a vše řešíme z definice množiny generátorů. Proto je řešení poměrně dost nepříjemné. Pokud již tento pojem znáte, můžete se pokusit úlohu vyřešit elegantněji!
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze