Matice přechodu III.
Úloha číslo: 1385
Úkol:
Najděte matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) a matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru polynomů stupně nejvýše dva s reálnými koeficienty, jestliže
\[ \begin{eqnarray} &N = & \big\{x^2 + x + 1, x^2 - 3x + 3 , x^2 + 2x - 5\big\},\\ &M = &\big\{6x^2 -5x +6, 21x^2 - 10x + 9, 10x^2 - 3x\big\}.\\ \end{eqnarray} \]Průpravná rukojeť
Navážeme na zjednodušení výpočtu matice přechodu představené v úloze Matice přechodu II.. Tam jsme již nemuseli postupovat dle definice, ale bylo nutné vypočítat inverzní matici a po té ještě provádět maticový součin. Ukážeme si, že lze matici přechodu získat pouhými úpravami, bez pracného maticového násobení.
Uvažujme již známé pomocné schéma pro výpočet matice přechodu.
\[ \overset{\bar{1}}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ V & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & V\\ ^{M} & \color{maroon}{A^{-1}} & ^{\mathrm{k.b.}} & \color{maroon}{B} & ^{N} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{A^{-1}B}}\]Dáme-li vedle sebe matice přechodu \(A\) a matici \(B\) (které snadno získáme) a provádíme-li na ně současně řádkové úpravy tak, že vlevo získáme jednotkovou matici, získáme napravo matici přechodu od \(N\) k \(M\).
\[\big(A\,|\,B\big) \leadsto \left(E\,|\,A^{-1}B\right)\]Proč?
Všechny provedené řádkové elementární úpravy představují násobení elementárními transformačními maticemi zleva. Nechť je jejich součin matice \(X\). Neboť jsme po provedení všech úprav nalevo získali jednotkovou matici, platí \[XA=E \qquad \Rightarrow \qquad X = A^{-1}.\] Provedené úpravy tedy představují násobení maticí \(A^{-1}\) zleva. Všechny elementární úpravy jsme ale prováděli i na matici vpravo, dostali jsme tam tedy matici \[XB = A^{-1} B,\] která je hledanou maticí přechodu.
Matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) získáme tak, že do sloupců matice napíšeme nejprve vektory báze \(M\), dále vektory báze \(N\) a na takto vzniklou matici provádíme řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice. Matice napravo je nyní matící přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\).
Rozbor
Nesmíme se uleknout, že zde nejsou vektory přímo \(n\)-tice, ale polynomy. S polynomy ale můžeme pracovat naprosto stejně – koeficienty od nejvyšší mocniny budou po řadě tvořit složky vektoru.Nápověda 1 – matice přechodu od N k M
Postupujte, jak je nastíněno v průpravné rukojeti. Tj. do sloupců matice napište nejprve vektory báze \(M\), dále vektory báze \(N\), a na takto vzniklou matici provádějte řádkové elementární úpravy, aby vlevo vznikla jednotková matice.Nápověda 2 – matice přechodu od M k N
Matici přechodu vzhledem ke stejným bazím, ale v opačném pořadí lze hledat analogicky jako v předchozím řešení. Využijte ale vlastnosti, že matice přechodu od \(M\) k \(N\) a matice přechodu od \(N\) k \(M\) jsou inverzní.
Tj. vypočítejte inverzní matici k matici
\[ \frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} -7 & 6 & -1 \\ 5 & -3 & -1 \\ -6 & 3 & 3 \\ \end{array} \right). \]Odpověď
Maticí přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) je matice \[ \frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} -7 & 6 & -1 \\ 5 & -3 & -1 \\ -6 & 3 & 3 \\ \end{array} \right). \] Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) je matice \[ \begin{pmatrix} 2 & 7 & 3\\ 3 & 9 & 4\\ 1 & 5 & 3\\ \end{pmatrix}. \] Matice jsou navzájem inverzní.
