Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Násobení matic I.

Úloha číslo: 1308

Pro matice \(A,B\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) určete součin \(A\cdot B\).

\[ A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{array} \right), \qquad B= \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \]
  • Rozbor

    Budeme postupovat podle definice součinu matic.

    Kdykoli máme určit součin dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice v rámci posloupnosti násobení přijatelného typu. V opačném případě není možné matice násobit.

    Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je násobení asociativní a tedy můžeme této vlastnosti využívat. Musíme si ale dát pozor, že násobení matic není obecně komutativní, proto je třeba vždy pečlivě zachovávat posloupnost jednotlivých součinů.

    Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

  • Nápověda 1 – proveditelnost součinu

    Ověřte, zda je možné uvedené matice v dané posloupnosti násobit.

  • Nápověda 2 – součin matic

    Zadané matice nyní dle definice součinu matic vynásobte.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Součin matic lze provést, neboť první matice v součinu má stejný počet sloupců, jako má druhá matice řádků. \[A\cdot B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)=\] \[=\left(\begin{array}{rrr} 0-4+3 & 1-2+0 & 2-2+0 \\ 0-4-1 & -2-2-0 & -4-2-0 \end{array}\right)=\] \[=\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ -5 & -4 & -6 \end{array}\right)\]
  • Odpověď

    Součinem matic \(A,B\) je matice \[ \left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ -5 & -4 & -6 \end{array}\right).\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze