Sbírka řešených úloh

Násobení matic I.

Úloha číslo: 1308

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součinu matic.

  Kdykoli máme určit součin dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice v rámci posloupnosti násobení přijatelného typu. V opačném případě není možné matice násobit.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je násobení asociativní a tedy můžeme této vlastnosti využívat. Musíme si ale dát pozor, že násobení matic není obecně komutativní, proto je třeba vždy pečlivě zachovávat posloupnost jednotlivých součinů.

  Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součinu

  Ověřte, zda je možné uvedené matice v dané posloupnosti násobit.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součinu

  Dvě matice \(A,B\) můžeme násobit, je-li \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) a \(B= (b_{jk})_{n\times p}\).
  Jinými slovy, je-li počet sloupců první matice roven počtu řádků druhé.

  Matice \( A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{array} \right) \) je typu \(2\times 3\), (má 2 řádky a 3 sloupce).

  Matice \(B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)\) je typu \(3\times 3\), (má 3 řádky a 3 sloupce).

  Tato podmínka je v našem případě splněna, protože matice \(A\) má stejný počet sloupců jako matice \(B\) řádků. Součin \(A\cdot B\) lze provést.

• Nápověda 2 – součin matic

  Zadané matice nyní dle definice součinu matic vynásobte.

• Řešení nápovědy 2 – součin matic

  Matice A, B vynásobíme.

  Jestliže je matice \(A\) typu \(2 \times 3\) a matice \(B\) typu \(3 \times 3\), pak je matice \(A\cdot B\) dle definice součinu typu \(2 \times 3\).

  \[A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\]

  Jestliže je matice \(A\) typu \(2 \times 3\) a matice \(B\) typu \(3 \times 3\), pak je matice \(A\cdot B\) dle definice součinu typu \(2 \times 3\).

  Z definice součinu dále víme, že se prvek výsledné matice \(C=A\cdot B\) na pozici \(ij\) rovná \(\sum_{j=1}^3 a_{ij}\cdot b_{jk}\), kde \(a_{ij}\) je prvek matice \(A\) na pozici \(ij\) a \(b_{jk}\) prvek matice \(B\) na pozici \(jk\), tedy

  \[=\left(\begin{smallmatrix} 1{\cdot} 0 + 2 \cdot (-2) + 3{\cdot} 1 & 1{\cdot} 1 + 2 \cdot (-1) + 3{\cdot} 0 & 1{\cdot} 2 + 2 \cdot (-1) + 3{\cdot} 0 \\ -2{\cdot} 0 + 2 \cdot (-2) -1{\cdot} 1 & -2{\cdot} 1 + 2 \cdot (-1) -1{\cdot} 0 & -2{\cdot} 2 + 2 \cdot (-1) -1{\cdot} 0 \end{smallmatrix}\right) = \] \[=\left(\begin{array}{rrr} 0-4+3 & 1-2+0 & 2-2+0 \\ 0-4-1 & -2-2-0 & -4-2-0 \end{array}\right)=\] \[=\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ -5 & -4 & -6 \end{array}\right).\]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Součin matic lze provést, neboť první matice v součinu má stejný počet sloupců, jako má druhá matice řádků. \[A\cdot B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)=\] \[=\left(\begin{array}{rrr} 0-4+3 & 1-2+0 & 2-2+0 \\ 0-4-1 & -2-2-0 & -4-2-0 \end{array}\right)=\] \[=\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ -5 & -4 & -6 \end{array}\right)\]

• Odpověď

  Součinem matic \(A,B\) je matice \[ \left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ -5 & -4 & -6 \end{array}\right).\]