Sbírka řešených úloh

Hodnost matice III.

Úloha číslo: 1331

• Rozbor

  Úpravu matice do řádkově odstupňovaného tvaru provádíme pomocí Gaussovy eliminační metody. Podle tohoto algoritmu provádíme logickou posloupnost řádkových úprav tak, abychom se dopracovali k požadovanému tvaru matice.

  Následké určení hodnosti matice znamená pouhé určení počtu nenulových řádků, případně počtu bázových sloupců, v řádkově odstupňovaném tvaru..

  Podrobný postup je představen v úloze Hodnost matice.

• Nápověda 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Pomocí Gaussovy eliminační metody nalezněte řádkově odstupňovaný tvar zadané matice. Pozor, pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_5\)!

  \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]

  Gaussův algoritmus je představen v Odstupňovaný tvar, Gaussova eliminace.

• Řešení nápovědy 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Matici upravíme užitím Gaussova algoritmu.

  1. Pomocí násobků prvního řádku vynulujeme druhou až čtvrtou pozici prvního sloupce

     \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 2I\\ III + I\\ IV + 3I\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

     Těmto úpravám odpovídá transformační matice

     \[T_1=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right).\]

  Tím je úprava matice dokončena, neboť je v řádkově odstupňovaném tvaru

  \[A_V=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

  Gaussovu eliminaci zaznamenává transformační matice \[ T=T_1=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right).\]

  Matici v řádkově odstupňovaném tvaru pak můžeme psát jako součin transformační matice \(T\) a původní matice \(A\), tedy

  \[ A_V = T \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2 – určení hodnosti matice

  Pomocí počtu nenulových řádků (nebo bázových sloupců) určete hodnost matice.

  Určení hodnosti matice podrobně vysvětluje úloha Hodnost matice.

• Řešení nápovědy 2 – určení hodnosti matice

  Hodnost matice je dána počtem nenulových řádků (nebo bázových sloupců) v řádkově odstupňovaném tvaru. Tento počet je \(1\). Hodnost matice \(A\) je \(1\).

• Řešení

  Příkladem odstupňovaného tvaru matice \(A\) je nalezená matice

  \[A_V=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

  Hodnost matice \(A\) je \(1\). Zapisujeme \(r(A)=1\).

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.