Sbírka řešených úloh

Stopa, determinant a charakteristický polynom

Úloha číslo: 1416

• Poznámka

  K úspěšnému zvládnutí úlohy je třeba znát, jak se věci mají ohledně determinantů.

• Nápověda 1 – koeficient b₀

  Určete hodnotu koeficientu \(\color{blue}{b_0}\) v obecném vyjádření charakteristického polynomu. \[ \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =\color{blue}{b_0} \lambda^n + b_1 \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + b_n. \] Uvědomte si, z jakého součinu prvků počítaného determinantu může vzniknout výraz obsahující \(\lambda^n\).

• Řešení nápovědy 1 – koeficient b₀

  Koeficient \(b_0\) stojí u \(\lambda^n\). Výraz obsahující \(\lambda\) v \(n\)-té mocnině můžeme získat pouze ze součinu prvků na hlavní diagonále, tedy ze součinu \[(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22})(\lambda - a_{33})\ldots(\lambda- a_{nn}) = \lambda^n + \ \cdots\ .\tag{1}\]

  Z definice determinantu přitom plyne, že tento součin determinant jistě obsahuje.

  Ze součinu (1) dostaneme vždy \(1\)-násobek \(\lambda^n\). Proto je \[b_0 = 1.\] Charakteristický polynom je tedy normovaný.

• Nápověda 2 – koeficient b₁

  Určete hodnotu koeficientu \(\color{blue}{b_1}\) v obecném vyjádření charakteristického polynomu. \[ \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =b_0 \lambda^n + \color{blue}{b_1} \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + b_n. \] Uvědomte si, z jakého součinu prvků počítaného determinantu může vzniknout výraz obsahující \(\lambda^{n-1}\).

• Řešení nápovědy 2 – koeficient b₁

  Koeficient \(b_1\) stojí u \(\lambda^{n-1}\). Výraz obsahující \(\lambda\) v \((n-1)\)-ní mocnině můžeme získat pouze tak, že zvolíme \(n-1\) prvků součinu z hlavní diagonály. Aby byl výsledný součin součástí determinantu, nezbývá nám, než zvolit jako \(n\)-tý prvek součinu poslední nezvolený prvek na diagonále, neboť součin v determinantu musí nutně obsahovat právě jeden prvek z každého sloupce a právě jeden prvek z každého řádku.

  Koeficient tedy budeme opět hledat v týmž součinu

  \[(\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22})(\lambda - a_{33})\ldots(\lambda- a_{nn}) = \lambda^n - \sum_{i=1}^n a_{ii} \lambda^{n-1} + \ \cdots\ .\] Pronásobením členů dávající \(\lambda\) v příslušné mocnině jsme získali koeficient \[b_1 = -\sum_{i=1}^n a_{ii} = -\mathrm{tr\,} A,\] který má význam záporně vzatého součtu prvků hlavní diagonály matice \(A\). Tomuto součtu se říká stopa matice \(A\) a značí se \(\mathrm{tr\,} A\) (z anglického trace).

• Nápověda 3 – koeficient b_n

  Určete význam koeficientu \(\color{blue}{b_n}\) v obecném vyjádření charakteristického polynomu. \[ \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =b_0 \lambda^n + b_1 \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + \color{blue}{b_n}. \] Jak koeficient \(\color{blue}{b_n}\) osamostatnit? Co takhle do rovnice dosadit \(\lambda = 0\)!

• Řešení nápovědy 3 – koeficient b_n

  Dosadíme-li \(\lambda = 0\), získáme význam \(b_n\) \[ \begin{vmatrix} - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & - a_{nn} \end{vmatrix} = b_n. \]

  Vlevo máme determinant matice \(-A\). Z vlastnosti determinantu víme, že vynásobíme-li nějaký řádek matice číslem \(a\), je determinant výsledné matice roven \(a\cdot\det A\).

  Bude-li tedy počet řádků sudý, bude determinant vlevo přímo determinantem matice \(A\), bude-li počet řádků lichý, bude determinantem matice \(A\) až na znaménko. Tedy

  \[(-1)^n \det A = b_n.\]

  Koeficient \(b_n\) má tedy význam determinantu matice \(A\) vynásobeného \((-1)^{n}\).

• Nápověda 4 – úplně rozložitelný char. polynom

  Uvažujte, že charakteristický polynom je úplně rozložitelný (na lineární faktory) \[p(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \ldots (\lambda - \lambda_n),\]

  kde \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) jsou jeho kořeny, tj. soubor \( \lbrace\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\rbrace\) je spektrum.

  Polynom roznásobte a porovnejte příslušné koeficienty s významy zjištěnými v předchozích částech úlohy.

• Řešení nápovědy 4 – úplně rozložitelný char. polynom

  Roznásobením char. polynomu (stačí členy na pozicích \(b_1, b_n\)) získáme \[p(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \ldots (\lambda - \lambda_n) =\] \[= \lambda^n - \sum_{i=1}^n \lambda_{i}\lambda^{n-1} + \ \cdots\ + (-1)^n\prod_{i=1}^n \lambda_i.\] Porovnáním s obecným vyjádřením polynomu \[ \color{grey}{p(\lambda) = b_0 \lambda^n + b_1 \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + b_n} \] a s výsledky předchozích částí dostáváme \[ \begin{eqnarray} b_1 &=& -\mathrm{tr\,} A = -\sum_{i=1}^n \lambda_i,\\ b_n &=& (-1)^n \det A = (-1)^n \prod_{i=1}^n \lambda_i, \end{eqnarray} \] a odtud již \[ \begin{eqnarray} \mathrm{tr\,} A = \sum_{i=1}^n \lambda_i,\\ \det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i. \end{eqnarray} \] Je-li tedy charakteristický polynom úplně rozložitelný, určuje součet kořenů polynomu stopu a jejich součin determinant matice \(A\).

• Závěr

  Známe-li charakteristický polynom matice \(n\)-tého řádu, pak

  • opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje její stopu,
  • absolutní člen polynomu vynásobený \((-1)^{n}\) určuje její determinant.

  Je-li charakteristický polynom matice úplně rozložitelný, lze také určit její

  • stopu jako součet prvků spektra,
  • determinant jako součin prvků spektra.