Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Stopa, determinant a charakteristický polynom

Úloha číslo: 1416

Je dána matice \(A = (a_{ij})_{n\times n}\) nad polem \(T\).

Charakteristickým polynomem \(p\in T\left[\lambda\right]\) matice \(A\) je zřejmě polynom \(n\)-tého stupně, neboť je determinantem charakteristické matice \(\lambda E - A\).

\[ \det(\lambda E - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =p(\lambda)=b_0 \lambda^n + b_1 \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + b_n. \]

Úkol:

Některé z koeficientů \(b_0, b_1, \ldots, b_n\) polynomu jsme schopni určit na základě znalostí výpočtu determinantu.
  • Jakou hodnotu má koeficient \(b_0\)?
  • Jakou hodnotu má koeficient \(b_1\)?
  • Jaký význam má koeficient \(b_n\)?
Dále uvažujte případ, kdy je charakteristický polynom úplně rozložitelný, tj. \[p(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \ldots (\lambda - \lambda_n).\]
  • Lze ze znalosti vlastních čísel \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) určit stopu a determinant?
  • Poznámka

    K úspěšnému zvládnutí úlohy je třeba znát, jak se věci mají ohledně determinantů.

  • Nápověda 1 – koeficient b0

    Určete hodnotu koeficientu \(\color{blue}{b_0}\) v obecném vyjádření charakteristického polynomu. \[ \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =\color{blue}{b_0} \lambda^n + b_1 \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + b_n. \] Uvědomte si, z jakého součinu prvků počítaného determinantu může vzniknout výraz obsahující \(\lambda^n\).
  • Nápověda 2 – koeficient b1

    Určete hodnotu koeficientu \(\color{blue}{b_1}\) v obecném vyjádření charakteristického polynomu. \[ \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =b_0 \lambda^n + \color{blue}{b_1} \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + b_n. \] Uvědomte si, z jakého součinu prvků počítaného determinantu může vzniknout výraz obsahující \(\lambda^{n-1}\).
  • Nápověda 3 – koeficient bn

    Určete význam koeficientu \(\color{blue}{b_n}\) v obecném vyjádření charakteristického polynomu. \[ \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{2n} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} & \cdots & -a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \] \[ =b_0 \lambda^n + b_1 \lambda^{n-1} + b_2 \lambda^{n-2} + \ \cdots\ + \color{blue}{b_n}. \] Jak koeficient \(\color{blue}{b_n}\) osamostatnit? Co takhle do rovnice dosadit \(\lambda = 0\)!
  • Nápověda 4 – úplně rozložitelný char. polynom

    Uvažujte, že charakteristický polynom je úplně rozložitelný (na lineární faktory) \[p(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \ldots (\lambda - \lambda_n),\]

    kde \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) jsou jeho kořeny, tj. soubor \( \lbrace\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\rbrace\) je spektrum.

    Polynom roznásobte a porovnejte příslušné koeficienty s významy zjištěnými v předchozích částech úlohy.
  • Závěr

    Známe-li charakteristický polynom matice \(n\)-tého řádu, pak
    • opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje její stopu,
    • absolutní člen polynomu vynásobený \((-1)^{n}\) určuje její determinant.

    Je-li charakteristický polynom matice úplně rozložitelný, lze také určit její

    • stopu jako součet prvků spektra,
    • determinant jako součin prvků spektra.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze