Sbírka řešených úloh

Analytické vyjádření bilineární formy I.

Úloha číslo: 1461

• Rozbor

  Úvodem

  Nejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:

  1. Lineární forma I.
  2. Analytické vyjádření lineární formy I.
  3. Matice homomorfismu
  4. Matice přechodu
  5. Matice homomorfismu
  6. Bilineární forma I.

  Teoretický aparát

  D: Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$  $M = \{m_1, \cdots, m_n \}$ jeho báze a $f$ bilineární forma na prostoru $V$. Maticí bilineární formy $f$ vzhledem k bázi $M$ budeme rozumět čtvercovou matici řádu $n$ $A=(a_{ij})$, pro kterou platí:

  $$\forall i,j = 1,\cdots, n: a_{ij}=f(m_i,m_j)$$

  Analytickým vyjádřením $f$ dále budeme rozumět: $$f(x,y) =\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_{ij}x_iy_j}$$

  V: Nechť $V$ je vektorový prostor dimenze $n$ nad tělesem $T$, $M$ jeho báze, $f$ bilineární forma na prostoru $V$ a $A$ čtvercová matice řádu $n$ nad tělesem $T$. Řekneme, že $A$ je maticí bilineiární formy $f$ vzhledem k bázi $M$, jestliže platí následující:

  $$\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}$$

  Postup

  Máme-li tedy k dispozici matici $A=(a_{ij})$ bilineární formy $f$ vzhledem k bázím $M,N$ prostoru $V$ dimenze $n$ nad tělesem $T$ a naším úkolem je získat matici formy $f$ vzhledem k bázím $K,L$ (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:

  $$\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}$$

  a chceme získat matici $B$ tak, aby platilo:

  $$\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot B \cdot \langle y \rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{2}$$

  Ku splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu $P_{KM}$ od báze $K$ k bázi $M$ a $P_{LN}$ od báze $L$ k bázi $N$:

  $$\forall x \in V: \langle x\rangle_M^{\mathrm{T}}= P_{KM}\cdot\langle x\rangle_K^{\mathrm{T}}$$

  Jelikož chceme vyjádřit $\langle x\rangle_M$ celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

  $$\forall x \in V: \langle x\rangle_M= \langle x\rangle_K \cdot P_{MK}^{\mathrm{T}} \tag{3}$$

  Pro $y$ obdobně získáváme:

  $$\forall y \in V: \langle y\rangle_N^{\mathrm{T}}= P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}} \tag{4}$$

  Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

  $$\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{5}$$

  Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

  $$B=P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}$$

  a tedy hledání matice $B$ přechází na hledání matic přechodu $P_{KM},\,\, P_{LN}$

• Kouzelný vzoreček

  Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu $f$ pro báze, vůči nimž je $f$ zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření $f$.

• Kouzelný vzoreček - řešení

  Bilineární forma na prostoru $\mathbb{Z}^2_5$ je zadána(po řadě) vzhledem k bázím $M$, $N$. Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_{N}^{\mathrm{T}}$$

  Jelikož máme $f$ vyjádřit vzhledem ke kanonické bázi, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}$$

  Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici $B$.

• Kouzelný vzoreček - cesta k matici B

  Již víme, že kouzelný vzoreček formy $f$ vzhledem ke kanonické bázi bude mít následující podobu:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}$$

  Pomocí vhodných přechodů a  známé matice $A$ formy $f$ vzhledem k bázím $M,\,\,N$ nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici $B$.

• Kouzelný vzoreček - cesta k matici B

  Vycházíme z:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}$$

  a chceme získat matici $B$ tak, aby platilo:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}$$

  V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu $P_{k.b.,M}$ od kanonické bázi k bázi $M$a $P_{k.b.,N}$ od kanonické báze k bázi $N$:

  $$\forall x \in \mathbb{Z}_5^2: \langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,M}\cdot\langle x \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}$$

  Jelikož chceme vyjádřit $\langle x\rangle_{M}$ celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

  $$\forall x \in \mathbb{Z}_5^2: \langle x\rangle_{M}= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \tag{3}$$

  Pro $y$ obdobně získáváme:

  $$\forall y \in \mathbb{Z}_5^2: \langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,N}\cdot\langle y\rangle_N^{\mathrm{T}} \tag{4}$$

  Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}$$

  Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

  $$B=P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}$$

  a tedy hledání matice $B$ přechází na hledání matic přechodu $P_{k.b.,M},\,\, P_{k.b.,N}$

• Matice přechodu

  Vyjádřeme nyní matice přechodu $P_{k.b.,M}$ od kanonické báze k bázi $M$ a $P_{k.b.,N}$ od kanonické báze k bázi $N$:

• Matice přechodu

  Matici přechodu $P$ od báze $C$ k bázi $D$ hledáme řešením maticového výrazu $(D|C) \sim (E|P)$.

  Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

  Matici $P_{k.b.,M}$ tedy získáme řešením $(M|E) \sim (E|P_{k.b.,M})$.

  Po dosazení:

  $$\left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 3 \,&\, 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ 3II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 0 \,&\, 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \end{array}$$ $$M=P_{k.b.,M} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ O & 2 \end{pmatrix}$$

  Matici $P_{k.b.,N}$ tedy získáme řešením $(N|E) \sim (E|P_{k.b.,N})$.

  po dosazení:

  $$\left( \begin{array}{ll|rr} 3 & 1 \,&\, 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ II+I\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 4 & 0 \,&\, 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 4I\\ 4II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 0 \,&\, 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ \end{array} \right)$$ $$M=P_{k.b.,N} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

• Matice formy A vzhledem k bázím M,N

  Dle definice v rozboru určete matici formy $f$ vzhledem k bázím $M$, $N$.

• Matice formy A vzhledem k bázím M,N - řešení

  Bilineární forma na prostoru $\mathbb{Z}^2_5$ má vzhledem k bázím $M$, $N$ analytické vyjádření:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 : 4x_1y_1 + x_2y_1+3x_2y_2$$

  proto matici formy $A$ bude vypadat následovně:

  $$A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

• Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření

  Pomocí zjištěných matic přechodu $P_{k.b,M},\,\, P_{k.b.,N}$, matice $A$ formy $f$ vzhledem k bázím $M$, $N$ a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici $B$ a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy $f$.

• Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření - řešení

  Matici $B$ získáme:

  $$B=P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}$$ $$A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ $$P_{k.b.,M} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$P_{k.b.,N} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

  po dosazení získáváme:

  $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

  a tedy v souladu s

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}$$

  bude požadované analytické vyjádření vypadat:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 :f(x,y)= 1x_1y_1 + 1x_1y_2+3x_2y_1+2x_2y_2$$

• Řešení

  Bilineární forma na prostoru $\mathbb{Z}^2_5$ je zadána(po řadě) vzhledem k bázím $M$, $N$. Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_{N}^{\mathrm{T}}\tag{1}$$

  Jelikož máme $f$ vyjádřit vzhledem ke kanonické bázi, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}$$

  Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici $B$.

  V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu $P_{k.b.,M}$ od kanonické bázi k bázi $M$a $P_{k.b.,N}$ od kanonické báze k bázi $N$:

  $$\forall x \in \mathbb{Z}_5^2: \langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,M}\cdot\langle x \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}$$

  Jelikož chceme vyjádřit $\langle x\rangle_{M}$ celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

  $$\forall x \in \mathbb{Z}_5^2: \langle x\rangle_{M}= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \tag{3}$$

  Pro $y$ obdobně získáváme:

  $$\forall y \in \mathbb{Z}_5^2: \langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,N}\cdot\langle y\rangle_N^{\mathrm{T}} \tag{4}$$

  Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}$$

  Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

  $$B=P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}$$

  a tedy hledání matice $B$ přechází na hledání matic přechodu $P_{k.b.,M},\,\, P_{k.b.,N}$

  Matici přechodu $P$ od báze $C$ k bázi $D$ hledáme řešením maticového výrazu $(D|C) \sim (E|P)$.

  Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

  Matici $P_{k.b.,M}$ tedy získáme řešením $(M|E) \sim (E|P_{k.b.,M})$.

  Po dosazení:

  $$\left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 3 \,&\, 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ 3II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 0 \,&\, 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \end{array}$$ $$M=P_{M,k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ O & 2 \end{pmatrix}$$

  Matici $P_{k.b.,N}$ tedy získáme řešením $(N|E) \sim (E|P_{k.b.,N})$.

  po dosazení:

  $$\left( \begin{array}{ll|rr} 3 & 1 \,&\, 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ II+I\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 4 & 0 \,&\, 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 4I\\ 4II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 0 \,&\, 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ \end{array} \right)$$ $$M=P_{M,k.b.} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

  Bilineární forma na prostoru $\mathbb{Z}^2_5$ má vzhledem k bázím $M$, $N$ analytické vyjádření:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 : 4x_1y_1 + x_2y_1+3x_2y_2$$

  proto matici formy $A$ bude vypadat následovně:

  $$A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

  Matici $B$ získáme:

  $$B=P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}$$

  po dosazení získáváme:

  $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

  a tedy v souladu s

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}$$

  bude požadované analytické vyjádření vypadat:

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 :f(x,y)= 1x_1y_1 + 1x_1y_2+3x_2y_1+2x_2y_2$$

• Analytické vyjádření

  $$\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 :f(x,y)= 1x_1y_1 + 1x_1y_2+3x_2y_1+2x_2y_2$$

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly $\mathbb{R}$.

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.