Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Analytické vyjádření bilineární formy I.

Úloha číslo: 1461

Bilineární forma na prostoru Z25 má vzhledem k bázím M={(1,0),(3,2)}, N={(3,1),(1,4)} analytické vyjádření:

x,yZ25:4x1y1+x2y1+3x2y2

určete její analytické vyjádření vzhledem ke kanonické bázi.

  • Rozbor

    Úvodem

    Nejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:

    1. Lineární forma I.
    2. Analytické vyjádření lineární formy I.
    3. Matice homomorfismu
    4. Matice přechodu
    5. Matice homomorfismu
    6. Bilineární forma I.

    Teoretický aparát

    D: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T  M={m1,,mn} jeho báze a f bilineární forma na prostoru V. Maticí bilineární formy f vzhledem k bázi M budeme rozumět čtvercovou matici řádu n A=(aij), pro kterou platí:

    i,j=1,,n:aij=f(mi,mj)

    Analytickým vyjádřením f dále budeme rozumět: f(x,y)=ni=1,j=1aijxiyj

    V: Nechť V je vektorový prostor dimenze n nad tělesem T, M jeho báze, f bilineární forma na prostoru VA čtvercová matice řádu n nad tělesem T. Řekneme, že A je maticí bilineiární formy f vzhledem k bázi M, jestliže platí následující:

    x,yV:f(x,y)=xMAyTM

    Postup

    Máme-li tedy k dispozici matici A=(aij) bilineární formy f vzhledem k bázím M,N prostoru V dimenze n nad tělesem T a naším úkolem je získat matici formy f vzhledem k bázím K,L (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:

    x,yV:f(x,y)=xMAyTN

    a chceme získat matici B tak, aby platilo:

    x,yV:f(x,y)=xKByTL

    Ku splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu PKM od báze K k bázi MPLN od báze L k bázi N:

    xV:xTM=PKMxTK

    Jelikož chceme vyjádřit xM celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

    xV:xM=xKPTMK

    Pro y obdobně získáváme:

    yV:yTN=PLNyTL

    Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

    x,yV:f(x,y)=xKPTKMAPLNyTL

    Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

    B=PTKMAPLN

    a tedy hledání matice B přechází na hledání matic přechodu PKM,PLN

  • Kouzelný vzoreček

    Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu f pro báze, vůči nimž je f zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření f.

  • Kouzelný vzoreček - cesta k matici B

    Již víme, že kouzelný vzoreček formy f vzhledem ke kanonické bázi bude mít následující podobu:

    x,yZ25:f(x,y)=xk.b.ByTk.b.

    Pomocí vhodných přechodů a  známé matice A formy f vzhledem k bázím M,N nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici B.

  • Matice přechodu

    Vyjádřeme nyní matice přechodu Pk.b.,M od kanonické báze k bázi MPk.b.,N od kanonické báze k bázi N:

  • Matice formy A vzhledem k bázím M,N

    Dle definice v rozboru určete matici formy f vzhledem k bázím M, N.

  • Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření

    Pomocí zjištěných matic přechodu Pk.b,M,Pk.b.,N, matice A formy f vzhledem k bázím M, N a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici B a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy f.

  • Řešení

    Bilineární forma na prostoru Z25 je zadána(po řadě) vzhledem k bázím M, N. Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

    x,yZ25:f(x,y)=xMAyTN

    Jelikož máme f vyjádřit vzhledem ke kanonické bázi, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

    x,yZ25:f(x,y)=xk.b.ByTk.b.

    Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici B.

    V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu Pk.b.,M od kanonické bázi k bázi MPk.b.,N od kanonické báze k bázi N:

    xZ25:xTM=Pk.b.,MxTk.b.

    Jelikož chceme vyjádřit xM celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

    xZ25:xM=xk.b.PTk.b.,M

    Pro y obdobně získáváme:

    yZ25:yTk.b.=Pk.b.,NyTN

    Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

    x,yZ25:f(x,y)=xk.b.PTk.b.,MAPk.b.,NyTk.b.

    Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

    B=PTk.b.,MAPk.b.,N

    a tedy hledání matice B přechází na hledání matic přechodu Pk.b.,M,Pk.b.,N

    Matici přechodu P od báze C k bázi D hledáme řešením maticového výrazu (D|C)(E|P).

    Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

    Matici Pk.b.,M tedy získáme řešením (M|E)(E|Pk.b.,M).

    Po dosazení:

    (13100201)II+II3II(10110102)I M=PM,k.b.=(11O2)

    Matici Pk.b.,N tedy získáme řešením (N|E)(E|Pk.b.,N).

    po dosazení:

    (31101401)II+IIII+I(40110412)I4I4II(10440143) M=PM,k.b.=(4443)

    Bilineární forma na prostoru Z25 má vzhledem k bázím M, N analytické vyjádření:

    x,yZ25:4x1y1+x2y1+3x2y2

    proto matici formy A bude vypadat následovně:

    A=(4013)

    Matici B získáme:

    B=PTk.b.,MAPk.b.,N

    po dosazení získáváme:

    B=(1012)(4013)(4443)=(4011)(4443)=(1132)

    a tedy v souladu s

    x,yZ25:f(x,y)=xk.b.ByTk.b.

    bude požadované analytické vyjádření vypadat:

    x,yZ25:f(x,y)=1x1y1+1x1y2+3x2y1+2x2y2
  • Analytické vyjádření

    x,yZ25:f(x,y)=1x1y1+1x1y2+3x2y1+2x2y2
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly R.

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze