Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Analytické vyjádření bilineární formy I.

Úloha číslo: 1461

Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}^2_5\) má vzhledem k bázím \(M= \{(1{,}0),(3{,}2) \}\), \(N=\{(3{,}1),(1{,}4) \}\) analytické vyjádření:

\[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 : 4x_1y_1 + x_2y_1+3x_2y_2 \]

určete její analytické vyjádření vzhledem ke kanonické bázi.

  • Rozbor

    Úvodem

    Nejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:

    1. Lineární forma I.
    2. Analytické vyjádření lineární formy I.
    3. Matice homomorfismu
    4. Matice přechodu
    5. Matice homomorfismu
    6. Bilineární forma I.

    Teoretický aparát

    D: Nechť \(V\) je vektorový prostor nad tělesem \(T\)  \(M = \{m_1, \cdots, m_n \}\) jeho báze a \(f\) bilineární forma na prostoru \(V\). Maticí bilineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) budeme rozumět čtvercovou matici řádu \(n\) \(A=(a_{ij})\), pro kterou platí:

    \[\forall i,j = 1,\cdots, n: a_{ij}=f(m_i,m_j)\]

    Analytickým vyjádřením \(f\) dále budeme rozumět: \[f(x,y) =\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_{ij}x_iy_j}\]

    V: Nechť \(V\) je vektorový prostor dimenze \(n\) nad tělesem \(T\), \(M\) jeho báze, \(f\) bilineární forma na prostoru \(V\) a \(A\) čtvercová matice řádu \(n\) nad tělesem \(T\). Řekneme, že \(A\) je maticí bilineiární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), jestliže platí následující:

    \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}\]

    Postup

    Máme-li tedy k dispozici matici \(A=(a_{ij})\) bilineární formy \(f\) vzhledem k bázím \(M,N\) prostoru \(V\) dimenze \(n\) nad tělesem \(T\) a naším úkolem je získat matici formy \(f\) vzhledem k bázím \(K,L\) (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:

    \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}\]

    a chceme získat matici \(B\) tak, aby platilo:

    \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot B \cdot \langle y \rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{2}\]

    Ku splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu \(P_{KM}\) od báze \(K\) k bázi \(M\) a \(P_{LN}\) od báze \(L\) k bázi \(N\):

    \[\forall x \in V: \langle x\rangle_M^{\mathrm{T}}= P_{KM}\cdot\langle x\rangle_K^{\mathrm{T}} \]

    Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_M\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

    \[\forall x \in V: \langle x\rangle_M= \langle x\rangle_K \cdot P_{MK}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]

    Pro \(y\) obdobně získáváme:

    \[\forall y \in V: \langle y\rangle_N^{\mathrm{T}}= P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}} \tag{4}\]

    Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

    \[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{5}\]

    Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

    \[B=P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\]

    a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{KM},\,\, P_{LN}\)

  • Kouzelný vzoreček

    Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu \(f\) pro báze, vůči nimž je \(f\) zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření \(f\).

  • Kouzelný vzoreček - cesta k matici B

    Již víme, že kouzelný vzoreček formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi bude mít následující podobu:

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

    Pomocí vhodných přechodů a  známé matice \(A\) formy \(f\) vzhledem k bázím \(M,\,\,N\) nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici \(B\).

  • Matice přechodu

    Vyjádřeme nyní matice přechodu \(P_{k.b.,M}\) od kanonické báze k bázi \(M\) a \(P_{k.b.,N}\) od kanonické báze k bázi \(N\):

  • Matice formy A vzhledem k bázím M,N

    Dle definice v rozboru určete matici formy \(f\) vzhledem k bázím \(M\), \(N\).

  • Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření

    Pomocí zjištěných matic přechodu \(P_{k.b,M},\,\, P_{k.b.,N}\), matice \(A\) formy \(f\) vzhledem k bázím \(M\), \(N\) a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici \(B\) a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy \(f\).

  • Řešení

    Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}^2_5\) je zadána(po řadě) vzhledem k bázím \(M\), \(N\). Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot A \cdot \langle y \rangle_{N}^{\mathrm{T}}\tag{1}\]

    Jelikož máme \(f\) vyjádřit vzhledem ke kanonické bázi, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}\]

    Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici \(B\).

    V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu \(P_{k.b.,M}\) od kanonické bázi k bázi \(M\)a \(P_{k.b.,N}\) od kanonické báze k bázi \(N\):

    \[\forall x \in \mathbb{Z}_5^2: \langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,M}\cdot\langle x \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \]

    Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_{M}\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

    \[\forall x \in \mathbb{Z}_5^2: \langle x\rangle_{M}= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]

    Pro \(y\) obdobně získáváme:

    \[\forall y \in \mathbb{Z}_5^2: \langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}= P_{k.b.,N}\cdot\langle y\rangle_N^{\mathrm{T}} \tag{4}\]

    Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}\]

    Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

    \[B=P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}\]

    a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{k.b.,M},\,\, P_{k.b.,N}\)

    Matici přechodu \(P\) od báze \(C\) k bázi \(D\) hledáme řešením maticového výrazu \((D|C) \sim (E|P)\).

    Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

    Matici \(P_{k.b.,M}\) tedy získáme řešením \((M|E) \sim (E|P_{k.b.,M})\).

    Po dosazení:

    \[\left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 3 \,&\, 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ 3II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 0 \,&\, 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \end{array} \] \[M=P_{M,k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ O & 2 \end{pmatrix}\]

    Matici \(P_{k.b.,N}\) tedy získáme řešením \((N|E) \sim (E|P_{k.b.,N})\).

    po dosazení:

    \[\left( \begin{array}{ll|rr} 3 & 1 \,&\, 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ II+I\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 4 & 0 \,&\, 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 4I\\ 4II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{ll|rr} 1 & 0 \,&\, 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ \end{array} \right) \] \[M=P_{M,k.b.} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix}\]

    Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}^2_5\) má vzhledem k bázím \(M\), \(N\) analytické vyjádření:

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 : 4x_1y_1 + x_2y_1+3x_2y_2 \]

    proto matici formy \(A\) bude vypadat následovně:

    \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]

    Matici \(B\) získáme:

    \[B=P_{k.b.,M}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{k.b.,N}\]

    po dosazení získáváme:

    \[B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix} \]

    a tedy v souladu s

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]

    bude požadované analytické vyjádření vypadat:

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 :f(x,y)= 1x_1y_1 + 1x_1y_2+3x_2y_1+2x_2y_2\]
  • Analytické vyjádření

    \[\forall x,y \in \mathbb{Z}^2_5 :f(x,y)= 1x_1y_1 + 1x_1y_2+3x_2y_1+2x_2y_2\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze