Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Bilineární forma II.

Úloha číslo: 1460

Rozhodni, zda zobrazení, které každé dvojici vektorů \(\vec{x},\,\, \vec{y} \in \mathbb{R}^n\) přířadí jejich součet \(\vec{x} + \vec{y} \) je bilineární forma na prostoru \( \mathbb{R}^n\)?

  • Rozbor

    Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je bilineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

    Nechť \(V\) Vektorový prostor nad \(T\), bilineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \times V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

    1. \(\forall x,y,z \in V: f(x+z,y) = f(x,y) + f(z,y)\)
    2. \(\forall x,y,z \in V: f(x,y+z) = f(x,y) + f(x,z)\)
    3. \(\forall x,y \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax,y) = af(x,y)\)
    4. \(\forall x,y \in V;\,\, \forall a \in T: f(x,ay) = af(x,y)\)

    Obě tyto vlastnosti udávají linearitu zobrazení.

    Bilineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojmu Homomorfismus).

    Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o bilineární formu.

    Symetrická-antisymetrická bilineární forma

    Jestliže k výše uvedenému dále platí \(\forall x,y \in V: f(x,y) = f(y,x))\), pak f je symetrická bilineární forma.

    Jestliže k výše uvedenému dále platí \(\forall x,y \in V: f(x,y) = -f(y,x)\), pak f je antisymetrická bilineární forma.

    Kvadratická forma

    Kvadratickou formou q rozumíme každé zobrazení, pro které existuje bilineární forma f, splňující podmínku:\(\forall x \in V: f(x,x) = q(x)\)

  • Nápověda 1. - Odkud Kam

    V souladu s definicí lineární formy, uvedenou v rozboru úlohy, je nejprve vhodné ověřit, zda-li je \(f:V\times V \to T\). V našem konkrétním případě tedy: \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)

  • Řešení

    Zobrazení \(f;\, \forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x},\vec{y}) = \vec{x} +\vec{y} \) není bilineární formou, neboť každé dvojici vektorů \(\vec{x},\vec{y}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) přiřazuje prvek \(\vec{x}+\vec{y} \in \mathbb{R}^n\) nikoli prvek \(\mathbb{R}\) a tedy nemusíme nic dále ověřovat, neboť \(f\) nesplňuje vlastnost \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) a tedy \(f\) není bilineární formou na prostoru \(\mathbb{R}^n\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze