Lineární obal

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Úloha číslo: 1362

Uvažujme následující definice

(i) Lineární obal množiny

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

Lineárním obalem podmnožiny \(M\) prostoru \(V\) budeme rozumět průnik všech podprostorů prostoru \(V\), které množinu \(M\) obsahují. Značíme \(\left[M\right].\)

Poznámka: \(\left[M\right]\) je nejmenší podprostor, který obsahuje množinu \(M\).

(ii) Lineární kombinace vektorů

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

Lineární kombinací vektorů \(v_1,\dots,v_k\) prostoru \(V\) s koeficienty \(a_1,\dots,a_k\in T\) budeme rozumět vektor \[a_1v_1 +\,\dots\,+a_kv_k = \sum_{i=1}^k a_i v_i.\] Terminologie:

\(a_1 = a_2 =\,\dots\,=a_k = 0\) triviální lineární kombinace,
\(\exists a_i \neq 0\) netriviální lineární kombinace,
\(\sum_{i=1}^0 a_i v_i= o\) prázdná lineární kombinace.

Při počítání s lineárními obaly by bylo velice nepříjemné vycházet přímo z definice (i) lineárního obalu. Pro praktické výpočty lze s výhodou užít následující větu, která lineární obal množiny interpretuje pomocí lineární kombinace (ii).

Dokažte následující větu

(iii) Lineární obal a lineární kombinace

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

Lineárním obalem podmnožiny \(M\) prostoru \(V\) je množina všech lineárních kombinací vektorů množiny \(M\) s koeficienty z pole \(T\).

Rozbor
Věta dává do rovnosti dvě množiny.

Označíme \(W\) množinu všech lineárních kombinací vektorů množiny \(M\). Chceme dokázat rovnost \([M]=W.\)

Je třeba tedy dokázat obě z inkluzí
1. \(\left[M\right] \subset W\),
2. \(W \subset \left[M\right]\).
1) Nápověda – inkluze [M] ⊂ W
Nechť \(W\) značí množinu všech lineárních kombinací vektorů množiny \(M\) s koeficienty z pole \(T\).

Dokažte, že lineární obal množiny \(M\) je obsažen v množině \(W\).

Uvědomte si souvislost množiny všech lineárních kombinací a podprostoru. Připomeňte si definici lineárního obalu.
1) Řešení nápovědy – inkluze [M] ⊂ W
Množina \(W\) obsahuje všechny lineární kombinace – tedy všechny součty a násobky vektorů, které obsahuje. Dle definice je tedy \(W\) podprostorem \(V\).
Mezi lineárními kombinacemi ve \(W\) jsou i všechny prvky množiny \(M\). Podprostor \(W\) obsahuje množinu \(M\).

Z definice (i) lineárního obalu vyplývá, že \(\left[M\right]\) je nejmenší možný podprostor prostoru \(V\) obsahující množinu \(M\).

Předchozí odstavce ve zkratce:
- \(W\) je podprostor obsahující M,
- \(\left[M\right]\) je nejmenší podprostor obsahující \(M\).
Z toho vyplývá první inkluze
\[\left[M\right] \subset W.\]
2) Nápověda – inkluze W ⊂ [M]
Nechť \(W\) stále značí množinu všech lineárních kombinací vektorů množiny \(M\) s koeficienty z pole \(T\).

Dokažte, že každý vektor \(W\) je obsažen v lineárním obalu množiny \(M\).
2) Řešení nápovědy – inkluze W ⊂ [M]
Uvažujme vektor \(v\in M\). Vektor \(v\) je jistě obsažen v lineárním obalu \(\left[M\right]\) (podprostor), tedy i každý jeho násobek, tedy i každý součet těchto násobků, tj. každá lineární kombinace.

Tím jsme dokázali inkluzi
\[W \subset \left[M\right].\]
Závěr
Ukázali jsme platnost obou inkluzí \(\left[M\right] \subset W,\) a \(W \subset \left[M\right]\).

Rovnost \(\left[M\right] = W\) tedy platí a věta je tak dokázána.

Lineární obal

Úloha číslo: 1362

Rozbor

1) Nápověda – inkluze [M] ⊂ W

1) Řešení nápovědy – inkluze [M] ⊂ W

2) Nápověda – inkluze W ⊂ [M]

2) Řešení nápovědy – inkluze W ⊂ [M]

Závěr