Sbírka řešených úloh

Užití Cramerova pravidla

Úloha číslo: 1390

• Rozbor

  V případě, že v okruhu \(R\) existuje \(\left(\det A\right)^{-1}\), tedy je-li determinant matice soustavy invertibilní, lze řešení soustavy lineárních rovnic vyjádřit přímo \[ \begin{eqnarray} x_1 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_1,\\ x_2 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_2,\\ \vdots~~ && \hspace{1.5em} \vdots \hspace{4em} \vdots\\ x_n &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_n.\\ \end{eqnarray} \]

  Toto bude náš případ, neboť v poli \(\mathbb{Z}_7\) existují inverzní prvky. Pokud by se nám v některé úloze stalo, že determinant nemá inverzní prvek, musíme hledat řešení soustavy mezi všemi řešeními v Cramerově pravidle uvedených rovností.

  Pro výpočet \(x_1,x_2,x_3\) potřebujeme znát inverzní prvek k \(\det A\) a dále pak \(\det A_1\), \(\det A_2\) a \(\det A_3\).

  Determinanty řádu tři snadno vypočítáme pomocí Sarrusova pravidla.

• Nápověda 1 – výpočet det A

  Sestavte matici soutavy \(A\), vypočítejte její determinant.

  Určete inverzní prvek k \(\det A\).

• Řešení nápovědy 1 – výpočet det A

  Maticí soustavy je matice \[ A = \begin{pmatrix} 4&2&1\\ 2&0&4\\ 0&5&2\\ \end{pmatrix}. \] Vypočtěme její determinat \[ \det A = \begin{vmatrix} 4&2&1\\ 2&0&4\\ 0&5&2\\ \end{vmatrix} = 0 + 0 + 3 + 6(0+1+3) = 6. \] Inverzní prvek k \(\det A = 6\) je v \(\mathbb{Z}_7\) číslo \(6\), neboť platí \(6{\cdot} 6 = 1\). Proto \[ \left(\det A \right)^{-1} = 6^{-1} = 6. \]

• Nápověda 2 – výpočet det A₁

  Určete determinant matice \(A_1\).

  Matice \(A_1\) vznikne z matice \(A\) záměnou 1. sloupce za sloupec pravých stran.

• Řešení nápovědy 2 – výpočet det A₁

  Vypočteme determinant matice \(A_1\), která vznikla z matice \(A\) záměnou prvního sloupce za sloupec pravých stran. \[ \det A_1 = \begin{vmatrix} \color{maroon}{3}&2&1\\ \color{maroon}{6}&0&4\\ \color{maroon}{1}&5&2\\ \end{vmatrix} = 0 + 1 + 2 + 6(0+3+4) = 3 \]

• Nápověda 3 – výpočet det A₂

  Určete determinant matice \(A_2\).

  Matice \(A_2\) vznikne z matice \(A\) záměnou 2. sloupce za sloupec pravých stran.

• Řešení nápovědy 3 – výpočet det A₂

  Vypočteme determinant matice \(A_2\), která vznikla z matice \(A\) záměnou druhého sloupce za sloupec pravých stran. \[ \det A_2 = \begin{vmatrix} 4 & \color{maroon}{3} & 1\\ 2 & \color{maroon}{6} & 4\\ 0 & \color{maroon}{1} & 2\\ \end{vmatrix} = 6 + 0 + 2 + 6(0+5+2) = 1 \]

• Nápověda 4 – výpočet det A₃

  Určete determinant matice \(A_3\).

  Matice \(A_3\) vznikne z matice \(A\) záměnou 3. sloupce za sloupec pravých stran.

• Řešení nápovědy 4 – výpočet det A₃

  Vypočteme determinant matice \(A_3\), která vznikla z matice \(A\) záměnou třetího sloupce za sloupec pravých stran. \[ \det A_3 = \begin{vmatrix} 4 & 2 &\color{maroon}{3} \\ 2 & 0 &\color{maroon}{6} \\ 0 & 5 &\color{maroon}{1} \\ \end{vmatrix} = 0+0+2+6(0+4+1) = 4 \]

• Nápověda 5 – výpočet řešení soustavy

  Vypočítané determinanty dosaďte do vztahů Cramerova pravidla a vyjádřete hledané \(x_1,x_2,x_3\).

• Řešení nápovědy 5 – výpočet řešení soustavy

  Vypočítané determinanty dosadíme do vztahů Cramerova pravidla a získáme řešení udané soustavy lineárních rovnic. \[ \begin{eqnarray} x_1 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_1 = 6 {\cdot} 3 = 4,\\ x_2 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_2 = 6 {\cdot} 1 = 6,\\ x_3 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_3 = 6{\cdot} 4 = 3.\\ \end{eqnarray} \]

• Odpověď

  Udaná soustava lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_7\) má jedno řešení \[ x_1 = 4 \qquad x_2=6 \qquad x_3 = 3. \]