Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Užití Cramerova pravidla

Úloha číslo: 1390

Nalezněte řešení soustavy lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_7\) \[ \begin{array}{rrrrrrr} 4x_1 & + &2x_2 & + & x_3 & =&3 \\ 2x_1 & & & + &4x_3 & =&6 \\ & &5x_2 & + &2x_3 & =&1 \\ \end{array} \] pomocí Cramerova pravidla.
Cramerovo pravidlo Mějme soustavu rovnic \(Ax = b\) nad komutativním okruhem \(R\) s jednotkovým prvkem, kde \(A\) je čtvercová matice. Jestliže je \(x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) řešením soustavy \(Ax=b\), potom je řešením soustavy \[ \begin{eqnarray} (\det A) \cdot x_1 &=& \det A_1 \\ (\det A) \cdot x_2 &=& \det A_2 \\ \vdots \hspace{3em}&& \hspace{0.7em} \vdots \\ (\det A) \cdot x_n &=& \det A_n \\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    V případě, že v okruhu \(R\) existuje \(\left(\det A\right)^{-1}\), tedy je-li determinant matice soustavy invertibilní, lze řešení soustavy lineárních rovnic vyjádřit přímo \[ \begin{eqnarray} x_1 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_1,\\ x_2 &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_2,\\ \vdots~~ && \hspace{1.5em} \vdots \hspace{4em} \vdots\\ x_n &=& (\det A)^{-1} \cdot \det A_n.\\ \end{eqnarray} \]

    Toto bude náš případ, neboť v poli \(\mathbb{Z}_7\) existují inverzní prvky. Pokud by se nám v některé úloze stalo, že determinant nemá inverzní prvek, musíme hledat řešení soustavy mezi všemi řešeními v Cramerově pravidle uvedených rovností.

    Pro výpočet \(x_1,x_2,x_3\) potřebujeme znát inverzní prvek k \(\det A\) a dále pak \(\det A_1\), \(\det A_2\) a \(\det A_3\).

    Determinanty řádu tři snadno vypočítáme pomocí Sarrusova pravidla.

  • Nápověda 1 – výpočet det A

    Sestavte matici soutavy \(A\), vypočítejte její determinant.

    Určete inverzní prvek k \(\det A\).

  • Nápověda 2 – výpočet det A1

    Určete determinant matice \(A_1\).

    Matice \(A_1\) vznikne z matice \(A\) záměnou 1. sloupce za sloupec pravých stran.

  • Nápověda 3 – výpočet det A2

    Určete determinant matice \(A_2\).

    Matice \(A_2\) vznikne z matice \(A\) záměnou 2. sloupce za sloupec pravých stran.

  • Nápověda 4 – výpočet det A3

    Určete determinant matice \(A_3\).

    Matice \(A_3\) vznikne z matice \(A\) záměnou 3. sloupce za sloupec pravých stran.

  • Nápověda 5 – výpočet řešení soustavy

    Vypočítané determinanty dosaďte do vztahů Cramerova pravidla a vyjádřete hledané \(x_1,x_2,x_3\).
  • Odpověď

    Udaná soustava lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_7\) má jedno řešení \[ x_1 = 4 \qquad x_2=6 \qquad x_3 = 3. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze