Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu IV.

Úloha číslo: 1380

• Rozbor

  Nejprve je třeba nalézt předpis pro složený homomorfismus, podobně jak jsme tomu činili v úloze Homomorfismus II..

  Nalezneme-li předpis, budeme postupovat stejně jako v úlohách

  • Matice homomorfismu,
  • Matice homomorfismu I.,
  • Matice homomorfismu II..

• Nápověda 1 – předpis složeného homomorfismu

  Nalezněte předpis pro složený homomorfismus.

• Řešení nápovědy 1 – předpis složeného homomorfismu

  Homomorfismy lze skládat pouze tak, aby „prostorově“ navazovaly. Tedy takto \[ \mathbb{Z}_5^3 \overset{f}{\longrightarrow} \mathbb{Z}_5^4 \overset{g}{\longrightarrow} \mathbb{Z}_5^3. \] Tj. nejprve na třísložkový vektor provedeme \(f\) a získáme čtyřsložkový vektor. Na něj pak provedeme \(g\) a dostaneme vektor třísložkový.

  Nalezněme předpis složeného homomorfismu

  \[ g \circ f = g\big(f(x,y,z)\big) \overset{\mathrm{předp.}\,f}{=} g(x+3y+2z,4y+2z,x+y+z,2x+3z) = \] \[ \begin{array}{l} \overset{\mathrm{předp.}\,g}{=} \big( 4y + 2z + x + y + z + x + 4z,\\ \phantom{\overset{\mathrm{předp.}\,g}{=} \big( } x+3y+2z + 3y + 4z + x + y + z, \\ \phantom{\overset{\mathrm{předp.}\,g}{=} \big( } 2x + y + 4z + 2y + z + x + y + z + 3x + 2z \big).\\ \end{array} \] Po úpravě máme předpis složeného homomorfismu \(g\circ f\) ve tvaru \[ (g\circ f)\big(x,y,z\big) = \big(2x + 2z, 2x + 2y + 2z, x + 4y + 3z\big). \]

• Nápověda 2 – matice složeného homomorfismu

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem ke stejné bázi \(M\). Souřadnice zapište správně do matice.

  Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

• Řešení nápovědy 2 – matice složeného homomorfismu

  Nalezněme obrazy vektorů báze \(M\). \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } (g\circ f)\big(x,y,z\big) = \big(2x + 2z, 2x + 2y + 2z, x + 4y + 3z\big)} \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}2,3)&=&(3{,}2,3)\\ f(0{,}3,3)&=&(1{,}2,1)\\ f(3{,}0,4)&=&(4{,}4,0)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem ke stejné bázi \(M\) označíme následovně. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(3{,}2,3)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_1,b_1,c_1)\\ \big\langle(1{,}2,1)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_2,b_2,c_2)\\ \big\langle(4{,}4,0)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_3,b_3,c_3)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(M\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(M\) dávající příslušné obrazy. \[ \begin{eqnarray} (3{,}2,3) = a_1 (1{,}2,3) + b_1 (0{,}3,3) + c_1 (3{,}0,4)\\ (1{,}2,1) = a_2 (1{,}2,3) + b_2 (0{,}3,3) + c_1 (3{,}0,4)\\ (4{,}4,0) = a_3 (1{,}2,3) + b_3 (0{,}3,3) + c_1 (3{,}0,4)\\ \end{eqnarray} \]

  Souřadnice \(a_i, b_i, c_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.

  \[ \begin{equation} \left.\begin{aligned} &(3{,}2,3) \\ &(1{,}2,1) \\ &(4{,}4,0) \\ \end{aligned}\right\} = a_i (1{,}2,3) + b_i (0{,}3,3) + c_i (3{,}0,4) \end{equation} \] Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice. \[ \begin{array}{rrrrrrr} a_i & & & + & 3c_i & = & 3 \,|\, 1 \,|\, 4 & \qquad \mathrm{(1)} \\ 2a_i & + & 3b_i & & & = & 2 \,|\, 2 \,|\, 4 & \qquad \mathrm{(2)} \\ 3a_i & + & 3b_i & + & 4c_i & = & 3 \,|\, 1 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \]

  Rovnici s \(i\)-tými indexy náleží jako pravá strana \(i\)-tý „chlíveček“.

  Tuto soustavu snadno vyřešíme. K dvojnásobku rovnice (1) přičteme rovnici (3) \[ 3b_i = 4\,|\,3\,|\,3 \quad \Rightarrow \quad b_i = 3\,|\,1\,|\,1. \] Z rovnice (2) pak plyne \[ 2a_i = 2b_i + 2\,|\,2\,|\,4 \quad \Rightarrow \quad a_i = 4\,|\,2\,|\,3. \] A z rovnice (1) \[ 3c_i = 4a_i + 3\,|\,1\,|\,4 \quad \Rightarrow \quad c_i = 3\,|\,3\,|\,2. \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1\\ 3 & 3 & 2\\ \end{pmatrix}. \]

• Odpověď

  Matice složeného homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1\\ 3 & 3 & 2\\ \end{pmatrix}. \]