Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu IV.

Úloha číslo: 1380

Najděte matici homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázi \(M = \big\{(1{,}2,3),(0{,}3,3),(3{,}0,4)\big\}\), jestliže

\[ \begin{eqnarray} &f:\,\mathbb{Z}_5^3 \rightarrow \mathbb{Z}_5^4;&~~ f(x,y,z) = (x+3y+2z,4y+2z,x+y+z,2x+3z),\\ &g:\,\mathbb{Z}_5^4 \rightarrow \mathbb{Z}_5^3;&~~ g(x,y,z,w) = (y+z+3w,x+2y+z,2x+3y+z+4w).\\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    Nejprve je třeba nalézt předpis pro složený homomorfismus, podobně jak jsme tomu činili v úloze Homomorfismus II..

    Nalezneme-li předpis, budeme postupovat stejně jako v úlohách

  • Nápověda 1 – předpis složeného homomorfismu

    Nalezněte předpis pro složený homomorfismus.
  • Nápověda 2 – matice složeného homomorfismu

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem ke stejné bázi \(M\). Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • Odpověď

    Matice složeného homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1\\ 3 & 3 & 2\\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze