Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu V.

Úloha číslo: 1384

V této úloze ukážeme jiný způsob nalezení matice složeného homomorfismu. Užijeme následující věty.
(i) O matici složeného homomorfismu

Nechť \(U,V,W\) jsou vektorové prostory nad polem \(T\), množiny \(K,M,N\) jejich báze a \(f:~V\longrightarrow W,\ g:~U\longrightarrow V\) jsou homomorfismy.

Jestliže \(A\) je maticí homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M,N\) a
jestliže \(B\) je maticí homomorfismu \(g\) vzhledem k bázím \(K,M\),
potom je \(AB\) maticí homomorfismu \(f\circ g\) vzhledem k bázím \(K,N\).

Úkol:

Najděte matici homomorfismu \(f\circ g\) vzhledem ke kanonické bázi, jestliže

\[ \begin{eqnarray} &f&:\,\mathbb{Z}_7^3 \rightarrow \mathbb{Z}_7^4;\quad f(x,y,z) = (x+3y+4z,5x+2z,2x+y+6z,4y+z),\\ &g&:\,\mathbb{Z}_7^4 \rightarrow \mathbb{Z}_7^3;\quad g(x,y,z,w) = (2x + 3z + 5w,x+2y+z+2w,\\ &~&\hspace{22em}3y+4z+w).\\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    Nakresleme si význam uvedené věty. V obrázku jsou zakresleny vektorové prostory, jejich báze a homomorfismy. Jsou zde zaneseny i příslušné matice homomorfismu k příslušným bázím. \[ \begin{array}{ccccc} & f & & g &\\ W & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & U\\ ^{N} & \color{maroon}{A} & ^{M} & \color{maroon}{B} & ^{K} \\ \end{array} \] A dle věty můžeme složenému homomorfismu \(f\circ g\) přiřadit matici, která je součinem matic dílčích homomorfismů, tj. matici \(AB\). Zakreslíme do obrázku. \[ \overset{f\circ g}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & g &\\ W & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & U\\ ^{N} & \color{maroon}{A} & ^{M} & \color{maroon}{B} & ^{K} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{AB}}\]

    Díky této větě můžeme úlohu vyřešit následovně.

    • Najdeme matici \(A\) homomorfismu \(f\).
    • Najdeme matici \(B\) homomorfismu \(g\).
    • Matici složeného homomorfismu \(f\circ g\) určíme jako maticový součin \(AB\).
  • Nápověda 1 – výpočet matice A homomorfismu f

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto vektorů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

  • Nápověda 2 – výpočet matice B homomorfismu g

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto vektorů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

  • Nápověda 3 – výpočet matice AB homomorfismu f•g

    Dle uvedené věty o matici složeného homomorfismu je maticí homomorfismu \(f\circ g\) součin matic \(AB\). Proveďte jej. Pozor – násobíme nad polem \(\mathbb{Z}_7\).
  • Odpověď

    Maticí složeného homomorfismu \(f\circ g\) vzhledem ke kanonické bázi je matice \[ A\cdot B = \begin{pmatrix} 5&4&1&1 \\ 3&6&2&6 \\ 5&6&3&4 \\ 4&4&1&2 \\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze